Ребёнок спокойно считает примеры, но теряется, когда рядом с числами появляются буквы? Начните с того, что буква не меняет знакомые действия. Она позволяет записать выражение, в которое потом можно подставить разные числа. Родителю полезно сначала показать смысл записи, а уже затем просить ребёнка вычислять ответ.
В первом уроке алгебры за 7 класс повторяют числовые и буквенные выражения, пять действий с десятичными дробями, подстановку значений, законы сложения и умножения. Отдельно разбирают деление на ноль, большой пример с несколькими действиями и чтение выражений. После видео предлагают разминку на сложение в пределах 100. Пройдём все эти части последовательно, сохраняя примеры урока.
В начале занятия также называют будущие темы алгебры и геометрии. Это ориентир на год: не нужно пытаться за один вечер объяснить ребёнку все анонсированные главы. Даже материал этой статьи можно разделить: сначала выражения и дроби, в другой подход — буквы, законы и самостоятельную работу.
Разделите выражения на две группы
Покажите ребёнку восемь записей из разминки. Пока не просите считать. Предложите найти признак, по которому их можно распределить в две группы: есть ли в записи буквы?
| Числовые выражения | Алгебраические выражения |
|---|---|
| 15 − 8 | a + b |
| 34 : 2 | 7f − 4 |
| 9 · 4 − 11 | 6c − 3d |
| 2(5 + 4 · 3) | 14(d − 5) |
В первой группе числа, знаки действий и скобки. Во второй к ним добавляются буквы. В этой школьной задаче такие записи называют алгебраическими, или буквенными, выражениями.
Обратите внимание на незаписанное умножение: 7f означает 7 · f, а 14(d − 5) означает 14 · (d − 5). Скобки относятся ко всей разности. Если ребёнок переписал последнее выражение как 14d − 5, попросите сравнить две записи: во второй число 14 уже не умножает пятёрку.
В числовом выражении 2(5 + 4 · 3) тоже есть умножение перед скобками. Отсутствие точки не превращает запись в буквенную: букв здесь нет.
Покажите разницу между выражением и его значением
Скажите: «Выражение показывает, какие действия нужно выполнить. Его значение — число, которое получится после вычислений, если все действия допустимы».
Например, 15 − 8 — выражение, а 7 — его значение. Запись 15 − 8 = 7 сообщает результат. Это не задача на поиск неизвестной буквы: мы вычисляем значение уже заданного выражения.
Попросите ребёнка самостоятельно найти значения остальных числовых записей. Ответы для проверки:
- 34 : 2 = 17;
- 9 · 4 − 11 = 36 − 11 = 25;
- 2(5 + 4 · 3) = 2 · (5 + 12) = 2 · 17 = 34.
В последнем примере сначала выполняют умножение внутри скобок, затем сложение, а после этого умножают результат на 2. Скобки задают отдельную часть вычисления, но внутри неё порядок действий тоже сохраняется.
Если ребёнок начинает с 5 + 4, не подсказывайте сразу ответ. Попросите показать знаки действий и объяснить, почему одно из них нужно выполнить раньше другого.
Повторите пять вычислений с десятичными дробями
Перед буквенными выражениями в уроке повторяют действия с дробями. Здесь полезно проговаривать не только «куда поставить запятую», но и что происходит с разрядами числа.
Сложение: 6,965 + 23,3. Запишите запятую под запятой. Справа в дробной части второго числа можно дописать два нуля: 23,3 = 23,300. Значение числа от этого не меняется. Теперь тысячные стоят под тысячными, сотые под сотыми, десятые под десятыми.
Получаем 6,965 + 23,300 = 30,265. Если ребёнок получил другое число, сначала проверьте расположение разрядов, затем переносы при сложении. Не ставьте числа «по последней цифре»: у этих дробей разное количество знаков после запятой.
Вычитание: 50,4 − 6,98. Представьте первое число как 50,40. Выравнивание разрядов нужно и здесь. Если в разряде не хватает единиц для вычитания, занимаем у соседнего разряда слева, как в привычном столбике. Учитывайте цепочку заимствований через ноль целой части.
Результат: 50,40 − 6,98 = 43,42. Проверить его можно обратным действием: 43,42 + 6,98 = 50,40. Такой возврат помогает ребёнку самостоятельно обнаружить пропущенное заимствование.
Умножение: 6,5 · 1,22. Здесь работает другой приём: сначала перемножаем числа без запятых. Удобно записать 122 · 65. Частичные произведения: 122 · 5 = 610 и 122 · 60 = 7320; сумма равна 7930.
В исходных множителях всего три знака после запятой: один у 6,5 и два у 1,22. Поэтому в произведении отделяем справа три цифры: 7,930 = 7,93. Это соответствует делению результата целочисленного умножения на 1000. Ноль можно убрать именно в конце дробной части. Нельзя по этому правилу превратить, например, целое число 7930 в 793.
Деление: 53,4 : 15. Делим сначала целую часть: 53 : 15 даёт 3 и остаток 8. Переходя к десятым, ставим запятую в частном. Остаток 8 вместе с 4 десятыми — это 84 десятых. Делим 84 на 15: получаем 5 десятых, остаётся 9 десятых. Дописываем ноль и рассматриваем 90 сотых. Они делятся на 15 по 6 сотых.
Ответ: 53,4 : 15 = 3,56. Проверка: 3,56 · 15 = 53,4. Запятая здесь связана с переходом от целых к дробной части, а не с количеством цифр в делителе.
Деление: 75 : 1,25. Чтобы применить деление на целое число, умножаем оба числа на 100: 75 превращается в 7500, а 1,25 — в 125. Частное при одинаковом ненулевом увеличении делимого и делителя не меняется.
Получаем 75 : 1,25 = 7500 : 125 = 60. Проверка: 1,25 · 60 = 75. Нельзя изменить только делитель — получится другая задача. И не нужно говорить, что «на десятичную дробь делить нельзя»: мы как раз это делаем, выбрав удобный способ вычисления.
После пяти примеров спросите: «Какие действия требуют выравнивать разряды? Когда считаем общее число десятичных знаков? Зачем в последнем примере изменяли оба числа?» Так вы проверите понимание разных способов, а не запоминание пяти ответов.
Подставьте числа вместо букв
Вернитесь к a + b. Для задания на подстановку значения букв задают заранее. Если a = 5, а b = 7, вместо каждой буквы записываем её число:
a + b = 5 + 7 = 12.
Не называйте a и b «секретными ответами, которые надо угадать». В этой задаче их значения уже известны; нужно аккуратно использовать их в записи.
Второй пример урока: a = −16, b = −14. Подставляем отрицательные числа целиком:
a + b = (−16) + (−14) = −30.
Складываем модули 16 и 14, получаем 30 и сохраняем отрицательный знак. Для устного объяснения можно сказать: «К отрицательным шестнадцати добавляем ещё отрицательные четырнадцать; движемся дальше в отрицательную сторону».
Если ребёнок пишет 30, попросите показать, куда делись оба минуса. Если пишет −2, проверьте, не начал ли он вычитать модули вместо сложения двух отрицательных чисел.
В заданиях с заданными значениями одна и та же буква в пределах вычисления обозначает одно и то же число. При этом не формулируйте правило «любое буквенное выражение невозможно вычислить без всех значений»: например, a − a всегда равно нулю. Сейчас мы отрабатываем конкретный способ подстановки.
Проверьте квадрат отрицательного числа
Следующий пример: найти значение a² − 3b, если a = −2, b = 0,4.
Сначала раскройте смысл двух сокращений: a² — это a · a, а 3b — это 3 · b. После подстановки получаем:
(−2)² − 3 · 0,4.
Поставьте скобки вокруг −2. В квадрат возводится всё подставленное число: (−2) · (−2) = 4. Затем 3 · 0,4 = 1,2. Остаётся 4 − 1,2 = 2,8.
Не убирайте скобки из первой части: запись −2² обычно означает минус перед квадратом двойки и даёт −4. В нашем примере основание степени отрицательное, поэтому нужны именно (−2)².
Предложите ребёнку переписать выражение после подстановки отдельной строкой. Ошибки легче найти до вычислений: все ли буквы заменены, сохранены ли скобки, появился ли знак умножения между 3 и 0,4?
Используйте пять законов сложения и умножения
В уроке собирают схему из пяти законов. Не обязательно требовать заучивания всех названий до первого применения. Прочитайте формулу, покажите, что изменилось в записи, и проверьте её на небольших числах.
| Закон | Запись | Что можно сделать |
|---|---|---|
| Переместительный закон сложения | a + b = b + a | Поменять местами слагаемые |
| Переместительный закон умножения | a · b = b · a | Поменять местами множители |
| Сочетательный закон сложения | (a + b) + c = a + (b + c) | По-другому сгруппировать слагаемые |
| Сочетательный закон умножения | (a · b) · c = a · (b · c) | По-другому сгруппировать множители |
| Распределительный закон | a · (b + c) = ab + ac | Умножить число на каждое слагаемое и сложить |
Вот собственные короткие примеры для домашнего объяснения. Сумму 7 + 18 + 2 удобно записать как 7 + (18 + 2) = 27. В произведении 4 · 3 · 25 можно переставить и сгруппировать множители: (4 · 25) · 3 = 300. А 6 · (10 + 2) равно 6 · 10 + 6 · 2 = 72.
Каждый переход должен сохранять значение выражения. В распределительном законе нельзя забыть второй множитель: a(b + c) превращается в ab + ac, а не в ab + c.
Эти законы не разрешают произвольно переставлять числа при любых действиях. Для проверки сравните 8 − 3 и 3 − 8: получаются 5 и −5. Точно так же нельзя без основания переносить свойства сложения на деление. Уточняйте, какое именно действие сейчас рассматриваете.
Проверьте делитель до получения ответа
Покажите два выражения из урока. Внешне они похожи, но во втором после вычислений появляется недопустимое действие.
35 : (11 − 4) = 35 : 7 = 5. Здесь можно выполнить все действия.
35 : (12 − 4 · 3). Внутри скобок сначала умножаем: 4 · 3 = 12. Затем 12 − 12 = 0. Получается 35 : 0 — такое деление не определено, поэтому у исходного выражения нет значения.
Слова «не имеет смысла» в этом задании не означают, что ребёнок недостаточно старался или должен придумать необычный ответ. Они указывают на деление на ноль. Проверка через умножение помогает понять проблему: не существует числа, которое при умножении на 0 даст 35.
Если ребёнок получил 5 и во втором случае, проверьте порядок действий внутри скобок. Возможно, он сначала вычислил 12 − 4, хотя раньше нужно было выполнить умножение.
Соберите большой пример из двух частей
Для самостоятельной работы в уроке дано 3,6 : 0,08 + 5,2 · 2,5. Предложите сначала составить план, не считая:
- Найти частное 3,6 : 0,08.
- Найти произведение 5,2 · 2,5.
- Сложить результаты.
Деление и умножение имеют одинаковый приоритет и в обычном последовательном вычислении выполняются слева направо. Здесь они находятся в двух независимых частях суммы: можно отдельно вычислить любую из них первой. Важно не прибавлять 5,2 к ещё не завершённому частному и не смешивать две части записи.
Для деления умножаем оба числа на 100: 3,6 : 0,08 = 360 : 8 = 45. Обратите внимание: 0,08 — восемь сотых, а не восемь десятых. При ошибочной замене на 0,8 получится другое частное.
Во второй части 5,2 · 2,5 = 13. Если ребёнку нужен столбик, сначала 52 · 25 = 1300, затем отделяем два знака после запятой: 13,00 = 13.
Теперь складываем: 45 + 13 = 58. Попросите ребёнка проверить оба промежуточных результата: 45 · 0,08 = 3,6, а 13 : 2,5 = 5,2. Если итог не совпал, такая проверка показывает, в какой ветви искать ошибку.
Научите читать выражение по последнему действию
В заключительной задаче нужно не только считать, но и читать записи, используя слова сумма, разность, произведение, частное. Ориентир — действие, которое выполняется последним во всём выражении.
| Выражение | Как его прочитать | Есть ли буквы? |
|---|---|---|
| 7 + b | Сумма чисел 7 и b | Да |
| 13 − 9 | Разность чисел 13 и 9 | Нет |
| 6 · 12 | Произведение чисел 6 и 12 | Нет |
| x : 2 | Частное чисел x и 2 | Да |
| 2 · 9,5 + 14 | Сумма произведения 2 и 9,5 и числа 14 | Нет |
| 9x − 11 | Разность произведения 9 и x и числа 11 | Да |
| 14(c + 5) | Произведение числа 14 и суммы c и 5 | Да |
Уточните две последние строки. В 9x − 11 сначала находится произведение, но вся запись обозначает разность. В 14(c + 5) сначала вычисляется сумма в скобках, а последним действием становится умножение на 14.
Числовых выражений в этом задании три: 13 − 9, 6 · 12, 2 · 9,5 + 14. Их значения — 4, 72 и 33 соответственно. Не включайте в эту группу x : 2 только потому, что в записи есть обычная цифра 2: буква x остаётся.
Добавьте короткую разминку на сложение
После видео в уроке размещён тренажёр сложения в пределах 100. Он автоматически подбирает десять вопросов, поэтому у разных запусков может быть разный набор примеров. Это отдельное повторение устного счёта, а не десять неизменных задач на алгебраические выражения.
Для домашней работы можно взять нашу подборку того же уровня. Следующие десять примеров подобраны для статьи, а не переписаны из конкретного случайного запуска тренажёра. Закройте ответы и попросите ребёнка объяснить удобный способ сложения.
| Пример | Ответ |
|---|---|
| 37 + 25 | 62 |
| 48 + 12 | 60 |
| 0 + 87 | 87 |
| 58 + 34 | 92 |
| 27 + 36 | 63 |
| 19 + 42 | 61 |
| 45 + 55 | 100 |
| 64 + 8 | 72 |
| 26 + 17 | 43 |
| 0 + 0 | 0 |
Например, 37 + 25 можно представить как 37 + 20 + 5 = 62. А в 64 + 8 удобно сначала дойти до десятка: 64 + 6 + 2 = 72. Это варианты объяснения, а не единственные допустимые способы.
Не делайте скорость главным условием первого подхода. Сначала ребёнок должен понимать действие и проверять результат. Если затруднение связано с переходом через десяток, отдельно повторите этот шаг, затем вернитесь к выражениям урока.
Проверьте понимание и вернитесь к месту ошибки
Попросите ребёнка без подсказки объяснить разницу между числовым и буквенным выражением, подставить отрицательное число в квадрат и найти причину отсутствия значения у 35 : (12 − 4 · 3). После этого предложите прочитать 14(c + 5) по последнему действию.
Если ребёнок справляется с вычислением, но не может назвать запись, вернитесь к последней таблице. Если теряет минус, выпишите строку подстановки отдельно. Если путает запятые, сравните правила сложения, умножения и деления на пяти разобранных примерах.
Не переписывайте за него всё решение. Дайте указать первый неверный переход и исправить его. Такая работа показывает, какой именно навык нужно повторить, и помогает постепенно обходиться без родительской подсказки.
Практика без регистрации
Закрепите тему
Ответьте на вопросы с пояснениями. Ответы и результаты не сохраняются — после перезагрузки можно начать заново.
Загружаем тренажёр…
Сохраните отметку о теме
Создайте бесплатный аккаунт, чтобы отмечать разобранные темы и вести предметные чек-листы. Добавлять ребёнка не потребуется.
