В уравнении 3x = 9 неизвестное число легко найти делением: x = 9 : 3 = 3. Но встречаются уравнения со скобками, переменной с двух сторон и даже без единственного ответа. После правильных преобразований их можно свести к виду ax = b.

Разберём, какие действия сохраняют решения, как раскрывать скобки и почему перед делением нужно проверить коэффициент a. Работаем с действительными числами и уравнениями без переменной в знаменателе. Здесь не требуется угадывать ответ: каждый шаг следует из равенства двух частей.

Что называют корнем уравнения

Корень — значение переменной, при котором уравнение становится верным числовым равенством. Для 3x = 9 число 3 подходит, потому что 3 × 3 = 9. Число 2 не подходит: 6 не равно 9. Решить уравнение — найти все его корни или установить их отсутствие.

В линейном уравнении ax = b буква x обозначает переменную, a и b — заданные числа. Коэффициент перед x может быть отрицательным или дробным. Например, −5x = 20, 0,2x = 12, −9x = 0. Название переменной несущественно: вместо x могут быть y или m.

Почему можно переносить слагаемые

К обеим частям равенства можно прибавить одно и то же число или выражение. Можно также умножить или разделить обе части на одно и то же ненулевое число. Такие действия не меняют множества решений.

Из x + 5 = 12 вычтем 5 с обеих сторон: x + 5 − 5 = 12 − 5, то есть x = 7. Кратко это описывают как перенос пятёрки вправо с противоположным знаком. Она не «перепрыгивает» произвольно: мы выполняем одинаковое действие с обеими частями.

При переносе меняется знак только переносимого слагаемого. Если слагаемое осталось на месте, его знак сохраняется. Умножение на ноль не является подходящим обратимым преобразованием: оно может уничтожить информацию об исходном равенстве.

Три случая уравнения ax = b: при ненулевом a один корень b/a; при a = 0 и ненулевом b корней нет; при a = b = 0 подходит любое действительное число.
Откройте схему отдельно, чтобы рассмотреть детали.

Решаем уравнение со скобками

Рассмотрим 4(x + 7) = 3 − x. Сначала раскрываем скобки по распределительному закону. Четвёрку умножаем на каждое слагаемое, а не только на x: 4x + 28 = 3 − x.

Собираем слагаемые с x слева, свободные числа справа. Для этого прибавим x и вычтем 28 из обеих частей: 4x + x = 3 − 28. Приводим подобные: 5x = −25.

Коэффициент 5 ненулевой, поэтому делим обе части на 5: x = −25 : 5 = −5. Проверка в исходном уравнении: слева 4(−5 + 7) = 4 × 2 = 8, справа 3 − (−5) = 8. Равенство верно, ответ — −5.

Подстановка только в последнее равенство не проверит ошибку, если она возникла при раскрытии скобок. Поэтому возвращайся к началу.

Если перед скобками минус

Минус перед скобками означает умножение всей скобки на −1: −(2x + 9) = −2x − 9. Меняются знаки у всех слагаемых. Для примера (x − 7) − (2x + 9) = −13 получим x − 7 − 2x − 9 = −13.

Переносим числа: x − 2x = −13 + 7 + 9. После приведения подобных: −x = 3. Перед x стоит коэффициент −1, поэтому x = −3. Проверим: −3 − 7 − (−6 + 9) = −10 − 3 = −13.

Запись −x = 3 ещё не является ответом x = 3. Нужно разделить обе части на −1 и изменить знак результата.

Три случая после приведения к ax = b

a не равно нулю. Есть ровно один корень x = b/a. Число b при этом может быть нулём: из −9x = 0 получаем x = 0. Условие «оба числа должны быть ненулевыми» было бы ошибочным.

a = 0, b не равно нулю. Корней нет. Например, 0x = 7 не выполнится ни при каком x: левая часть всегда ноль. Делить 7 на ноль не нужно и нельзя.

a = 0, b = 0. Подходит любое действительное число. Равенство 0x = 0 верно и для нуля, и для 5, и для −2,5. Это не один корень 0, а бесконечно много решений.

Посмотрим, как второй случай возникает со скобками: 2x + 5 = 2(x + 6). Раскроем: 2x + 5 = 2x + 12. Вычтем 2x и 5: 0x = 7. Ответ: корней нет. А уравнение 2(x + 3) = 2x + 6 после раскрытия даёт тождественное равенство, поэтому подходит любое x.

Алгоритм и частые ошибки

  1. Раскрой скобки, умножая на каждое слагаемое.
  2. Собери слагаемые с переменной в одной части, остальные — в другой.
  3. Приведи подобные и получи ax = b.
  4. Проверь a. Делить можно только при a ≠ 0.
  5. Выбери один из трёх случаев и запиши полный ответ.
  6. Единственный найденный корень проверь подстановкой в исходное уравнение.

Не путай −3 : (−9) = 1/3 с обратным делением: в −9x = −3 делим правую часть на коэффициент, а не наоборот. Не теряй знак у коэффициента −1. Не объявляй любой ноль в строке доказательством отсутствия корней: 0x = 0 и 0x = 7 различаются.

Проверь себя

  1. 8x = 16.
  2. −5x = 20.
  3. −9x = 0.
  4. 2x + 5 = 2(x + 6).
  5. 2(x + 3) = 2x + 6.

Ответы. 2; −4; 0; корней нет; любое действительное число. В первых трёх случаях подставь ответ, в последних сравни обе части после раскрытия скобок.