Выражения (a + b)², (a − b)² и a² − b² похожи,
но раскрываются по-разному. Квадрат суммы содержит три слагаемых,
квадрат разности — тоже три, а разность квадратов можно представить
произведением двух скобок.
Разберём именно эти три формулы: откуда они берутся, как подставлять вместо букв целые выражения и как проверять ответ. Формулы с кубами — отдельная тема. Здесь a и b могут быть любыми действительными числами или допустимыми алгебраическими выражениями.
Квадрат суммы: откуда берётся среднее слагаемое
Квадрат выражения означает произведение двух одинаковых множителей:
(a + b)² = (a + b)(a + b).
Раскрываем скобки, умножая каждое слагаемое первой скобки
на каждое слагаемое второй:
a² + ab + ba + b².
Поскольку ab = ba, два средних слагаемых дают 2ab.
Получаем (a + b)² = a² + 2ab + b².
Словами: квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого и второго,
плюс квадрат второго.
В (x + 6)² первое выражение — x, второе — 6.
Поэтому (x + 6)² = x² + 2 × x × 6 + 6²
= x² + 12x + 36.
Удвоенное произведение нельзя пропускать: оно возникло из двух
разных пар множителей при раскрытии скобок.
Квадрат разности: последний знак остаётся плюсом
Раскроем (a − b)(a − b).
Получим a² − ab − ab + b².
Последнее слагаемое положительно, потому что (−b) × (−b) = b².
Значит, (a − b)² = a² − 2ab + b².
Для (x − 5)² получаем
x² − 2 × x × 5 + 5² = x² − 10x + 25.
Минус относится к удвоенному произведению, а квадрат пятёрки
по-прежнему равен положительному числу 25.
Проверка при x = 5 особенно наглядна:
слева (5 − 5)² = 0, справа 25 − 50 + 25 = 0.
Неверная запись x² − 25 тоже случайно дала бы здесь ноль,
поэтому одной удачной подстановки недостаточно для доказательства формулы.
При x = 0 ошибка станет видна: слева 25, а не −25.
Когда внутри скобки есть коэффициент
В (3a + 4)² первым выражением служит весь одночлен 3a.
Нужно возвести в квадрат и число 3, и букву a:
(3a)² = 9a².
Удвоенное произведение равно 2 × 3a × 4 = 24a,
квадрат второго слагаемого — 16.
Ответ: 9a² + 24a + 16.
Удобный алгоритм: обозначь первое выражение A, второе B;
отдельно вычисли A², 2AB и B²; затем соедини их нужными знаками.
Для (2x − 3)² это 4x², 12x и 9:
получится 4x² − 12x + 9.
Не заменяй (2x)² на 2x² или 4x.
Степень относится ко всему произведению в скобках:
(2x)² = (2x)(2x) = 4x².
Разность квадратов
Раскроем (a − b)(a + b):
a² + ab − ab − b².
Средние слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся
a² − b² = (a − b)(a + b).
Это равенство можно применять в обе стороны.
Для раскрытия скобок:
(7 − x)(7 + x) = 49 − x².
Для разложения на множители:
x² − 64 = (x − 8)(x + 8).
Пример с коэффициентом:
(4c − 1)(4c + 1) = (4c)² − 1² = 16c² − 1.
Буква c обязательно остаётся в квадрате.
Если поменять порядок в первой скобке, результат изменит знак:
(b − a)(a + b) = b² − a².
Поэтому сначала проверь, какие выражения повторяются и в каком порядке.
Считаем удобнее с помощью формул
Чтобы найти 101², представим 101 как 100 + 1:
101² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1²
= 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
А 49² = (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.
В произведении 99 × 101 числа симметричны относительно 100:
(100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1² = 9999.
Формула не меняет само действие, а выбирает более удобный способ вычисления.
Обратное распознавание тоже полезно:
x² + 12x + 36 = (x + 6)².
Но мало увидеть два квадрата по краям: средний член должен
быть именно удвоенным произведением. Например,
x² + 10x + 36 не равно (x + 6)².
Типичные ошибки
Потерять 2ab. Квадрат суммы не равен сумме квадратов. При a = b = 1 слева 4, справа без среднего члена было бы 2. Поставить минус перед b² в квадрате разности. Раскрой две скобки и проверь последний множитель. Считать a² − b² квадратом разности. Это разные выражения с разными формулами. Возвести в квадрат только букву. Коэффициент тоже возводится в квадрат.
Проверь себя
- Раскрой
(x + 6)². - Раскрой
(x − 5)². - Раскрой
(3a + 4)². - Разложи
x² − 64. - Вычисли
99 × 101.
Ответы. x² + 12x + 36; x² − 10x + 25;
9a² + 24a + 16; (x − 8)(x + 8); 9999.
Для проверки раскрой полученные произведения и пересчитай числовой пример.