Квадратные уравнения через дискриминант: формула и число корней

Как решить 2x² + 5x − 7 = 0, если корни не удаётся сразу подобрать? У квадратного уравнения есть общий способ: вычислить дискриминант, по его знаку определить число действительных корней и, если они есть, найти их по формуле. В этом примере получатся 1 и −7/2.

Разберём вычисление по шагам, включая случаи нулевого и отрицательного дискриминанта. Все утверждения о количестве корней ниже относятся к действительным числам. Для работы понадобится извлечение квадратного корня и аккуратное обращение со знаками.

Сначала стандартный вид

Квадратным называют уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b и c — коэффициенты. Если a равно нулю, квадратное слагаемое исчезнет, и правило квадратного уравнения с делением на 2a применять нельзя.

Перед вычислением перенеси все слагаемые в одну часть и приведи подобные. Например, 2x² = 7 − 5x превращается в 2x² + 5x − 7 = 0. Здесь a = 2, b = 5, c = −7. Минус перед свободным членом входит в коэффициент c.

В x² − x + 3 = 0 коэффициенты равны 1, −1 и 3. В 3x² = 0 коэффициенты b и c нулевые. Отсутствующее слагаемое означает нулевой коэффициент, а не возможность произвольно пропустить его при подстановке.

Что такое дискриминант

Дискриминант — число D = b² − 4ac, вычисленное по коэффициентам конкретного уравнения. Он не является корнем уравнения. Это промежуточный результат, который определяет следующий шаг решения.

Когда D неотрицателен, используем формулу x = (−b ± √D)/(2a). Весь числитель −b ± √D делится на всё произведение 2a. Знак ± означает две отдельные записи: одну с плюсом, другую с минусом. При D = 0 они дают одно значение −b/(2a).

Два корня: полный разбор

Решим 2x² + 5x − 7 = 0. Уже выписали a = 2, b = 5, c = −7. Подставляем в формулу дискриминанта:

D = 5² − 4 × 2 × (−7) = 25 + 56 = 81.

Дискриминант положителен, поэтому корня два. √81 = 9, а знаменатель 2a = 4. Первый корень: x₁ = (−5 + 9)/4 = 4/4 = 1. Второй: x₂ = (−5 − 9)/4 = −14/4 = −7/2. Порядок записи этих двух корней значения не имеет.

Проверяем подстановкой: для 1 получаем 2 + 5 − 7 = 0. Для −7/2: 2 × 49/4 − 35/2 − 7 = 49/2 − 35/2 − 14/2 = 0. Оба ответа удовлетворяют исходному уравнению.

Обрати внимание: произведение 4 × 2 × (−7) отрицательно, а перед ним в формуле стоит ещё один минус. Поэтому в D появляется плюс 56, а не минус 56.

Один корень

Рассмотрим 4x² + 4x + 1 = 0. Коэффициенты: a = 4, b = 4, c = 1. D = 4² − 4 × 4 × 1 = 16 − 16 = 0.

Формула упрощается: x = −b/(2a) = −4/(2 × 4) = −4/8 = −1/2. Проверка: 4 × 1/4 + 4 × (−1/2) + 1 = 1 − 2 + 1 = 0. У уравнения один различный действительный корень. Можно также заметить (2x + 1)² = 0, но дискриминант даёт тот же ответ общим способом.

Отрицательный дискриминант

В 2x² + 3x + 4 = 0 имеем D = 3² − 4 × 2 × 4 = 9 − 32 = −23. Дискриминант отрицателен. В действительных числах квадратный корень из −23 не определён, поэтому действительных корней нет. На этом решение закончено; делить −23 на 2a вместо извлечения корня не нужно.

Не путай отрицательный D и отрицательный x. В первом примере D положителен, но один корень отрицательный. Знак дискриминанта отвечает за количество корней, а не за их знаки.

Алгоритм и проверка

1. Приведи уравнение к стандартному виду с нулём справа.
2. Выпиши a, b и c вместе со знаками; проверь a ≠ 0.
3. Вычисли D, отдельно проверяя квадрат отрицательного b и знак 4ac.
4. По знаку D выбери нужный случай.
5. При D ≥ 0 подставь числа в формулу и выполни оба варианта ±.
6. Упрости корни и подставь их в исходное уравнение.

Если D положителен, но не является квадратом целого числа, корни могут содержать √D. Не нужно округлять их без требования задачи. Например, у x² + 4x + 2 = 0 получим D = 8 и корни (−4 ± √8)/2 = −2 ± √2.

Частые ошибки и самопроверка

Забыть скобки у отрицательного коэффициента: (-8)² = 64. Разделить только √D на 2a: делится весь числитель. Забыть второй корень при D > 0: выпиши плюс и минус отдельными строками. Продолжить действительные вычисления при D < 0: здесь ответ уже известен.

1. Найди D у 2x² + 5x − 7 = 0.
2. Назови его корни.
3. Сколько корней у 4x² + 4x + 1 = 0 и чему он равен?
4. Есть ли действительные корни у 2x² + 3x + 4 = 0?
5. Какие a, b и c у x² − x + 3 = 0?

Ответы. 81; 1 и −7/2; один, −1/2; нет, поскольку D = −23; 1, −1 и 3.