В прямоугольном треугольнике два катета равны 3 см и 4 см. Можно ли найти третью сторону, не измеряя её линейкой? Теорема Пифагора связывает квадраты трёх сторон: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Значит, гипотенуза равна 5 см.

Но перед применением формулы нужно убедиться, что треугольник действительно прямоугольный, и правильно выбрать гипотенузу. Разберём поиск стороны, проверку числовых ответов и обратное утверждение, которое помогает установить наличие прямого угла.

Как различить стороны

У прямоугольного треугольника один угол равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза. Она длиннее каждого катета.

Обозначим катеты a и b, гипотенузу c. Теорема Пифагора утверждает: c² = a² + b². Речь о квадратах длин, а не о самих длинах: формула c = a + b неверна.

Буква c не обязана обозначать гипотенузу во всех задачах мира. Это выбранное нами обозначение. Если в условии гипотенузой названа сторона AB, именно её квадрат должен стоять отдельно слева, независимо от названий других сторон.

Прямоугольный треугольник: катеты 3 и 4 расположены при прямом угле, гипотенуза 5 напротив него. 3² + 4² = 5². Для поиска катета вычитаем квадрат другого катета из квадрата гипотенузы.
Откройте схему отдельно, чтобы рассмотреть детали.

Почему возникают именно квадраты

На каждой стороне треугольника можно построить квадрат. Тогда c² — площадь квадрата на гипотенузе, a² и b² — площади квадратов на катетах. Теорема говорит, что первая площадь равна сумме двух остальных.

Один способ доказательства использует большой квадрат со стороной a + b. Внутри него располагают четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b так, чтобы их гипотенузы образовали внутренний квадрат. Его стороны равны c, а углы прямые: два острых угла исходного прямоугольного треугольника в сумме дают 90°.

Площадь большого квадрата, с одной стороны, равна (a + b)². С другой — сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата: 4 × ab/2 + c² = 2ab + c². Получаем a² + 2ab + b² = 2ab + c². Вычтем 2ab из обеих частей: останется a² + b² = c².

Находим гипотенузу

Если известны оба катета, складываем их квадраты, а затем извлекаем положительный квадратный корень: c = √(a² + b²).

При a = 8 см, b = 15 см: c² = 64 + 225 = 289, значит, c = 17 см. Проверка: 17 больше 8 и 15. Само число 289 — квадрат длины, а не искомая длина. Остановиться на ответе 289 см было бы ошибкой.

Все длины перед вычислением должны быть в одинаковых единицах. Нельзя сложить квадрат числа сантиметров с квадратом числа метров, не выполнив предварительный перевод. В ответе длина получает линейную единицу — сантиметры, а не квадратные сантиметры.

Находим неизвестный катет

Если известны гипотенуза c и катет a, переносим a²: b² = c² − a², поэтому b = √(c² − a²). Под корнем стоит разность, а не сумма. При верных положительных длинах гипотенуза больше катета и разность положительна.

Пусть c = 1,25, a = 1 в одинаковых единицах. Переведём 1,25 в дробь 5/4: b² = 25/16 − 1 = 25/16 − 16/16 = 9/16. Следовательно, b = 3/4 = 0,75.

У уравнения b² = 9/16 числовые решения ±3/4, но длина стороны положительна, поэтому выбираем 3/4. Проверка: 1² + (3/4)² = 16/16 + 9/16 = 25/16 = (5/4)².

Обратная теорема: есть ли прямой угол

Прямая теорема начинается с известного прямого угла. Обратная утверждает: если квадрат самой длинной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный. Прямой угол лежит напротив самой длинной стороны.

Для сторон 3, 4 и 5 проверяем: 5² = 25, 3² + 4² = 25. Равенство выполнено — треугольник прямоугольный. Для 9, 12 и 15: 15² = 225, 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Он тоже прямоугольный.

А для 10, 10 и 15 получаем 225 ≠ 100 + 100. Треугольник с такими сторонами существует, но прямоугольным не является. Не нужно заранее называть сторону 15 гипотенузой: пока мы только проверяем, есть ли прямой угол. Если даны просто три числа, сначала также проверь существование треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.

Алгоритм и типичные ошибки

Сначала прочитай условие и отметь прямой угол, если он известен. Назови гипотенузу, вырази длины в одинаковых единицах и запиши равенство квадратов. Для гипотенузы складывай, для катета вычитай. Извлеки корень и проверь положительность длины.

Применять формулу к любому треугольнику нельзя: нужно условие прямоугольности или отдельная проверка обратной теоремы. Путать квадрат разности с разностью квадратов опасно: √(c² − a²) обычно не равно c − a. Считать по виду рисунка недостаточно: прямой угол должен следовать из условия, обозначения или доказательства.

Проверь себя

  1. Катеты 3 см и 4 см. Найди гипотенузу.
  2. Катеты 8 см и 15 см. Найди гипотенузу.
  3. Гипотенуза 1, катет 0,8. Найди другой катет.
  4. Прямоугольный ли треугольник со сторонами 9, 12 и 15?
  5. А со сторонами 10, 10 и 15?

Ответы. 5 см; 17 см; √(1 − 0,64) = 0,6; да, поскольку 225 = 81 + 144; нет, поскольку 225 ≠ 100 + 100.