Отрицательные числа: как складывать и вычитать без путаницы

Утром было −2 °C, затем температура понизилась ещё на 4 градуса. Стало −6 °C. А если при −4 °C температура повысилась на 6 градусов, получится +2 °C. В обоих случаях мы меняем исходное значение, но направление изменения различается.

Числовая прямая помогает увидеть эти действия. Отрицательные числа находятся левее нуля, положительные — правее. Прибавление положительного числа означает движение вправо, отрицательного — влево. Научимся переводить эту картину в правила сложения и вычитания.

Знак числа и знак действия

В выражении −4 + 6 минус перед четвёркой относится к самому числу: первое слагаемое отрицательное. Плюс между числами обозначает действие. В записи −4 + (−3) оба слагаемых отрицательные, но действие по-прежнему сложение. Скобки помогают не смешивать два разных назначения знаков.

Модуль числа — расстояние от нуля до точки с этой координатой. Поэтому |−4| = 4, |6| = 6, |0| = 0. Модуль не бывает отрицательным, но может равняться нулю. Числа 4 и −4 противоположны: они одинаково удалены от нуля и имеют разные знаки. Ноль противоположен самому себе.

Модуль понадобится, чтобы сравнивать величину слагаемых без учёта их направления. Сам знак после этого всё равно нужно вернуть в ответ.

Складываем два отрицательных числа

В примере −1 + (−3) начинаем с −1 и двигаемся ещё на три единицы влево. Получаем −4. Оба изменения направлены в отрицательную сторону, поэтому их величины складываются, а знак остаётся минус.

Правило: сложи модули и поставь перед результатом минус. Например, −8,3 + (−4,2) = −(8,3 + 4,2) = −12,5. Для двух положительных чисел складываем значения обычным способом. Так можно объединить случаи: при одинаковых знаках складывают модули и сохраняют общий знак слагаемых.

Не применяй к сложению фразу «минус на минус даёт плюс». Она относится к умножению и делению. В сумме −3 + (−5) никакого умножения нет, ответ равен −8.

Складываем числа с разными знаками

Рассмотрим −4 + 6. Четыре положительные единицы из шести компенсируют четыре отрицательные. Остаются две положительные: результат 2. На прямой это шесть шагов вправо от −4.

В −4 + 3 положительных единиц не хватает, чтобы дойти до нуля. Останется −1. В −5 + 8 после компенсации остаются три положительные единицы, ответ 3.

Общее правило:

1. Найди модули слагаемых.
2. Из большего модуля вычти меньший.
3. Возьми знак того слагаемого, у которого модуль больше.

Так, 9,3 + (−13,2) даёт 13,2 − 9,3 = 3,9 со знаком второго слагаемого: −3,9. Если модули равны, слагаемые противоположны и сумма равна нулю: 7 + (−7) = 0. Знак к нулю приписывать не требуется.

Сравниваем именно модули. Число −13,2 меньше 9,3, но его модуль 13,2 больше модуля 9,3. Поэтому отрицательное направление в этом примере «перевешивает».

Вычитание заменяем сложением

Чтобы из a вычесть b, нужно к a прибавить число, противоположное b: a − b = a + (−b). Первое число остаётся прежним. Знак действия меняется на плюс, а второе число заменяется противоположным.

Пример: 3 − 7 = 3 + (−7) = −4. Модуль отрицательного слагаемого больше: из 7 вычитаем 3 и ставим минус. Ещё пример: 8,1 − 9 = 8,1 + (−9) = −0,9.

Если вычитаем отрицательное число, противоположное ему положительно: −15 − (−16) = −15 + 16 = 1. Но −15 − 16 = −15 + (−16) = −31. Скобки в этих двух записях меняют смысл, поэтому их нельзя игнорировать.

Полезная проверка любой разности: прибавь к ответу вычитаемое. Для 3 − 7 = −4 получаем −4 + 7 = 3, то есть вернулись к уменьшаемому.

Несколько действий подряд

Рассмотрим −9 + 3 − 5. Сначала заменим вычитание: −9 + 3 + (−5). Можно считать по порядку: −9 + 3 = −6, затем −6 + (−5) = −11.

Можно сгруппировать отрицательные слагаемые: (−9) + (−5) + 3 = −14 + 3 = −11. При перестановке число переносится вместе со своим знаком. Нельзя оставить минус на старом месте и переместить только цифру. Если есть скобки, сначала учитывай обозначенный ими порядок действий.

С дробями правило знака такое же. Например, −1/4 + (−0,25) = −0,25 − 0,25 = −0,5. Сначала полезно привести числа к одному удобному виду, а затем выполнять действия и следить за знаком.

Помогатор и типичные ошибки

Назови действие, определи знаки, вычисли модули и только потом ответ. При вычитании сначала получи сумму — так меньше случаев для запоминания.

Сложить модули при разных знаках неверно: для −4 + 6 нужно 6 − 4, а не 6 + 4. Потерять знак большего модуля можно избежать, заранее пометив нужное слагаемое. Считать любой модуль положительным неточно: у нуля модуль нулевой.

Проверь себя

1. −1 + (−3).
2. −4 + 6.
3. 9,3 + (−13,2).
4. 3 − 7.
5. −15 − (−16).

Ответы. −4; 2; −3,9; −4; 1. Нарисуй первые два действия на прямой, а последние два проверь сложением результата и вычитаемого.