При сложении дробей мы искали одинаковые доли — общий знаменатель.
Для умножения действует другое правило: перемножаем числители отдельно,
знаменатели отдельно. Например, 8/11 × 3/5 = 24/55.
А деление можно заменить умножением на обратное число.
Эта статья поможет повторить действия с обыкновенными дробями и понять, где допустимо сокращение. Работать будем с неотрицательными числами. Знаменатели всегда ненулевые; делить на ноль нельзя. Перед вычислением важно назвать действие: правила сложения и умножения нельзя менять местами.
Что означает умножение дробей
Возьмём 3/4 прямоугольника, а затем половину выделенной части.
Весь прямоугольник можно разделить на восемь равных клеток:
в трёх четвертях их шесть, в половине этой области — три.
Получаем 3/4 × 1/2 = 3/8 целого прямоугольника.
В выражении «половина от трёх четвертей» слово «от» указывает на умножение. При умножении положительного числа на правильную дробь результат становится меньше исходного числа. Поэтому привычное ожидание «умножение обязательно увеличивает» здесь не работает.
Общее правило записывается так:
a/b × c/d = (a × c)/(b × d), где b и d не равны нулю.
Общий знаменатель перед этим искать не нужно.
Умножаем и проверяем результат
Рассмотрим 8/11 × 3/5. В числителе получаем 8 × 3 = 24,
в знаменателе 11 × 5 = 55. Ответ — 24/55.
Числа 24 и 55 не имеют общего делителя больше 1, поэтому ответ несократим.
Ещё пример: 7/13 × 2/5 = 14/65.
Произведение меньше каждого исходного множителя, потому что оба
множителя положительные и меньше единицы. Такая оценка не доказывает
точный ответ, но позволяет обнаружить грубую ошибку.
С натуральным числом правило не меняется: 4 = 4/1.
Поэтому 3/7 × 4 = 12/7 = 1 5/7.
Это четыре порции по три седьмых. Знаменатель остался 7 не случайно:
в записи второго множителя его знаменатель был равен 1.
Сокращаем до умножения
В 12/13 × 26/4 можно сначала получить 312/52, а затем сократить
дробь до 6. Но удобнее заметить общие множители заранее.
Числа 26 и 13 делим на 13: остаются 2 и 1.
Числа 12 и 4 делим на 4: остаются 3 и 1.
Получаем (3 × 2)/(1 × 1) = 6.
Это то же сокращение одной общей дроби, только до вычисления больших произведений. Сокращать разрешается множитель числителя с множителем знаменателя. Нельзя «сократить» два числителя друг с другом или отдельные цифры в числе. Каждый раз называй общий делитель и результат деления обоих чисел.
В сумме 2/3 + 4/5 нельзя зачеркнуть 2 и 5 по правилу умножения:
между дробями стоит плюс. Сначала выполняем именно то действие,
которое записано в выражении.
Обратные числа и деление
Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.
Для 2/5 обратное число — 5/2:
2/5 × 5/2 = 10/10 = 1.
Для натурального числа 3 обратное — 1/3. У нуля обратного числа нет,
потому что произведение нуля на любое число равно нулю.
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить
на число, обратное второй:
a/b : c/d = a/b × d/c.
Здесь c тоже не должно быть нулём: делитель c/d обязан быть ненулевым.
Вычислим 6/17 : 7/17. Первую дробь оставляем,
вторую заменяем обратной:
6/17 × 17/7 = 6/7.
Семнадцать в числителе и знаменателе сокращаются.
Проверка: 6/7 × 7/17 = 6/17 — вернулись к делимому.
Деление на натуральное число и смешанные числа
В выражении 9/11 : 9 представим девять как 9/1.
Обратное число — 1/9. Получаем
9/11 × 1/9 = 1/11.
Деление на девять уменьшило положительную дробь в девять раз.
Смешанное число сначала переводят в неправильную дробь.
Например, 1 1/4 = (1 × 4 + 1)/4 = 5/4.
Поэтому 1 1/4 × 2/5 = 5/4 × 2/5 = 1/2,
а 1 1/4 : 2/5 = 5/4 × 5/2 = 25/8 = 3 1/8.
Не нужно отдельно перемножать целые части и дробные.
Алгоритм и ошибки
Сначала преобразуй смешанные и натуральные числа в удобные дроби. При делении проверь ненулевой делитель и замени только его обратным. Затем сократи общие множители числителя и знаменателя, перемножь оставшиеся числа и приведи ответ к удобной форме.
Переворачивать обе дроби при делении неверно: первая сохраняется. Искать общий знаменатель для умножения излишне: это правило другого действия. Делить на ноль запрещено, даже если делимое тоже ноль. Ноль, разделённый на ненулевую дробь, даёт ноль.
Проверь себя
8/11 × 3/5.12/13 × 26/4.6/17 : 7/17.9/11 : 9.1 1/4 : 2/5.
Ответы. 24/55; 6; 6/7; 1/11; 25/8, или 3 1/8. Проверь каждое частное умножением на делитель.