150 граммов сыра стоят 200 рублей. Сколько стоят 300 граммов того же сыра при неизменной цене за грамм? Масса увеличилась вдвое, значит, и стоимость увеличится вдвое: получится 400 рублей. Это пример прямой пропорциональности. Решение можно записать с помощью пропорции — равенства двух отношений.
Но не любые величины, растущие одновременно, пропорциональны. Сначала выясним, что означает отношение и как проверить равенство, а затем составим пропорцию из условия задачи. Такой порядок защищает от механического «перемножения крест-накрест» без понимания смысла.
Отношение и пропорция
Отношение числа a к числу b записывают a : b или a/b,
где b не равно нулю. Значение отношения находят делением.
Например, 5,2 : 1,3 = 4 и 9,6 : 2,4 = 4.
Эти отношения равны:
5,2 : 1,3 = 9,6 : 2,4.
Такое равенство называется пропорцией.
В записи a : b = c : d числа a и d — крайние члены,
b и c — средние. Удобно произнести запись целиком:
«a относится к b так же, как c относится к d».
Делители b и d должны быть ненулевыми. В задачах ниже все величины
положительные, поэтому с этим ограничением сложностей не будет.
Основное свойство пропорции
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению
средних: a × d = b × c.
Это свойство следует из равенства дробей a/b = c/d:
умножим обе части на ненулевое произведение b × d.
Проверим 5 : 7 = 15 : 21.
Крайние дают 5 × 21 = 105, средние — 7 × 15 = 105.
Произведения равны, пропорция верна.
В предполагаемой пропорции 4 : 5 = 6 : 7 получаются 28 и 30,
поэтому равенства отношений нет.
Обратное утверждение тоже полезно: если произведения равны, а знаменатели ненулевые, равенство отношений действительно выполняется. Проверять только произведения и забывать о запрете нулевого делителя нельзя.
Как найти неизвестный член
Решим 4,5 : 2,25 = y : 3,5.
По основному свойству 2,25 × y = 4,5 × 3,5.
Правая часть равна 15,75, поэтому
y = 15,75 : 2,25 = 7.
Можно вычислить проще: левое отношение равно 2,
значит, y : 3,5 = 2 и y = 7.
Проверка: 4,5 : 2,25 = 2, 7 : 3,5 = 2.
Оба способа сохраняют одну и ту же связь.
Алгоритм: установи ненулевые делители, запиши равенство произведений, вырази неизвестный множитель делением и подставь результат в исходную пропорцию. Если неизвестное стоит в знаменателе, отдельно проверь, что найденное значение не обращает его в ноль.
Что означает прямая пропорциональность
Две положительные величины прямо пропорциональны, если при увеличении
одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз,
а при уменьшении — уменьшается во столько же раз.
Отношение соответствующих значений остаётся постоянным:
y/x = k, или y = kx.
Стоимость и масса сыра прямо пропорциональны при постоянной цене
за единицу массы. Путь и время — при постоянной скорости.
У периметра квадрата и его стороны постоянное отношение 4:
P = 4a. Для сторон 1, 2, 4 и 8 периметры равны 4, 8, 16 и 32.
А площадь квадрата и его сторона прямо пропорциональными не являются: при увеличении стороны вдвое площадь вырастает вчетверо. Самого факта «одно растёт и другое растёт» недостаточно.
Составляем пропорцию по таблице
Вернёмся к сыру:
| Масса | Стоимость |
|---|---|
| 150 г | 200 руб. |
| 300 г | x руб. |
Массы сравниваем в том же порядке, что и стоимости:
150/300 = 200/x.
Получаем 150 × x = 300 × 200, значит, x = 400 рублей.
Нельзя в одной дроби взять первое значение ко второму,
а в другой — второе к первому. Проверка здравым смыслом помогает:
больше сыра при постоянной цене не может стоить дешевле.
Ещё два примера
Из 4,5 кг семян получили 2,4 кг масла. Сколько масла получится
из 13,5 кг семян при таком же выходе масла?
Семян стало 13,5 : 4,5 = 3 раза больше,
значит, масла будет 2,4 × 3 = 7,2 кг.
Пропорция: 4,5/13,5 = 2,4/x.
Условие одинакового выхода обязательно: при другой технологии
данных для такого расчёта могло бы не хватить.
На 15 одинаковых юбок требуется 25,5 м ткани.
На 5 таких юбок ткани нужно втрое меньше:
25,5 : 3 = 8,5 м.
Через одну юбку получится то же самое:
25,5 : 15 = 1,7 м, затем 1,7 × 5 = 8,5 м.
Пропорция связывает количества при одинаковом расходе на изделие.
Частые ошибки и самопроверка
Перепутать порядок отношений. Подпиши строки и проверь их направление. Сразу объявить зависимость прямой. Назови неизменное условие: цену, скорость, выход продукта или расход ткани. Забыть единицы. Массы сначала вырази в одинаковых единицах. Умножить числа без уравнения. Сначала запиши, какое произведение равно какому и где находится неизвестное.
- Верна ли пропорция
5 : 7 = 15 : 21? - Найди y:
4,5 : 2,25 = y : 3,5. - Сколько стоят 300 г сыра при цене 200 руб. за 150 г?
- Сколько масла получится из 13,5 кг семян при указанном выходе?
- Прямо пропорциональны ли сторона квадрата и его площадь?
Ответы. Да, оба произведения равны 105; y = 7; 400 рублей; 7,2 кг; нет, при удвоении стороны площадь увеличивается вчетверо.