Процент — это одна сотая доля. Запись 1% означает 1/100,
или 0,01. Если всю величину принять за 100%, то 50% этой величины —
половина, а 25% — четверть. Главное в задаче на проценты — установить,
что именно принято за целое.
Одно и то же число может отвечать на разные вопросы. Найти 30% от количества, найти количество по известным 30% и определить процент части от целого — три разные задачи. Разберём каждую и научимся выбирать действие по смыслу, а не по знакомому числу в условии.
Как связаны проценты и дроби
Чтобы записать проценты десятичной дробью, нужно разделить число
процентов на 100: 25% = 0,25, 50% = 0,5, 125% = 1,25.
Обратное действие: долю, записанную числом, умножаем на 100 и приписываем
знак процента. Так, 0,24 = 24%, 1,7 = 170%.
Проценты могут превышать 100. Например, 125% некоторого количества — это всё количество и ещё его четверть. Нельзя автоматически считать любой процент долей меньше целого. При этом 125% не равно числу 125: для вычисления используем множитель 1,25.
Обыкновенную дробь тоже можно выразить в процентах:
1/2 = 0,5 = 50%, 3/5 = 0,6 = 60%,
17/20 = 0,85 = 85%. В каждом случае речь об одном отношении,
записанном разными способами.
Первый тип: найти процент от числа
Велосипедисту нужно проехать 720 км. В первый день он преодолел 20% всего маршрута. Сколько это километров?
Целое здесь — весь маршрут 720 км, то есть 100%.
Переводим 20% в дробь: 20 : 100 = 0,2.
Умножаем: 720 × 0,2 = 144.
Ответ: 144 км.
Можно решить через один процент: 720 : 100 = 7,2 км,
затем 7,2 × 20 = 144 км. Оба способа основаны на одинаковом смысле:
одна сотая целого, взятая двадцать раз.
Правило: часть = целое × число процентов : 100. Проверяем разумность: 20% меньше половины, и 144 меньше 360. Такую оценку стоит сделать до записи окончательного ответа.
Второй тип: найти целое по его проценту
90 учеников составляют 30% всех учащихся школы. Сколько учеников всего? Теперь 90 — часть, а не 100%. Поэтому умножать 90 на 0,3 нельзя: это нашло бы 30% от известной части.
На один процент приходится 90 : 30 = 3 ученика.
На сто процентов — 3 × 100 = 300 учеников.
Ответ: 300 учеников.
Другой способ: 90 : 0,3 = 300.
Общее правило: целое = часть : доля,
где доля равна числу процентов, делённому на 100, и не равна нулю.
Проверка возвращает условие: 300 × 0,3 = 90.
Если в условии сказано, что 0% целого равны нулю, этого недостаточно для нахождения самого целого. Деление на ноль не становится допустимым из-за знака процента.
Третий тип: сколько процентов составляет часть
Из 180 учащихся работу выполнили 90. Какой это процент? Здесь известны часть и целое, неизвестно процентное отношение.
Сначала найдём долю: 90 : 180 = 0,5.
Затем переведём её в проценты: 0,5 × 100% = 50%.
Ответ: 50% учащихся.
Правило: процент = часть : целое × 100%. Делим именно часть на целое, а не наоборот. В нашем примере половина детей выполнила работу, поэтому ответ 200% сразу выглядел бы неподходящим. При отношении одинаковых величин сначала согласуем единицы: например, минуты и секунды нельзя подставлять как независимые числа.
Как выбрать действие по условию
Сначала ответь на три вопроса: что является 100%, какая часть известна и что требуется найти? Удобно сделать маленькую таблицу:
| Величина | Количество | Проценты |
|---|---|---|
| Всё | 300 учеников | 100% |
| Часть | 90 учеников | 30% |
Если закрыть в этой таблице любое одно число, получится один из трёх
типов задач. Связь остаётся одной: 90 = 300 × 0,3.
Не нужно заучивать три несвязанных приёма — нужно понять эту связь.
На сколько процентов больше или меньше
Если цена 200 рублей снизилась на 15%, за 100% принимается старая цена.
Скидка равна 200 × 0,15 = 30 рублей.
Новая цена — 200 − 30 = 170 рублей.
Можно сразу умножить на 1 − 0,15 = 0,85.
При повышении на 15% множитель был бы 1,15.
Но снижение, а затем повышение на одинаковые 15% не вернёт начальную
цену: во втором действии проценты берутся уже от 170 рублей.
Получится 170 × 1,15 = 195,5 рубля. Этот пример показывает,
почему перед каждым действием нужно заново назвать целое.
Частые ошибки и самопроверка
Умножать на 20 вместо 0,2. Двадцать процентов — двадцать сотых, а не двадцать целых. Менять местами часть и целое. Подпиши 100% до вычисления. Вычитать 15 рублей при скидке 15%. Проценты переводятся в количество через цену, а не заменяются рублями.
- Запиши 25% десятичной дробью.
- Найди 20% от 720 км.
- 90 — это 30% числа. Найди число.
- Сколько процентов составляет 90 от 180?
- Какова новая цена 200 рублей после скидки 15%?
Ответы. 0,25; 144 км; 300; 50%; 170 рублей. Проверь второй ответ делением 144 на 720, третий — умножением 300 на 0,3, последний — вычислением размера скидки 30 рублей.