Ребёнок раскрывает скобки, но теряет минус или складывает x² с x? Начните с простого вопроса: что сейчас меняется в записи и почему её значение остаётся тем же? При работе с многочленами важно видеть отдельные слагаемые, сохранять их знаки и понимать, какое правило разрешает каждый переход.
В первом уроке алгебры за 8 класс повторяют одночлены, стандартный вид многочлена, сложение и умножение, пять формул сокращённого умножения. Затем решают уравнение, три самостоятельных примера и отдельное упражнение на пять соответствий. Ниже разобраны все эти части с исходными условиями и ответами для родителя.
В начале занятия также называют будущие темы: неравенства, алгебраические дроби, квадратные уравнения, корни и степени с целым показателем. Это план курса. Не нужно объяснять его целиком во время повторения. Саму статью удобно разделить на несколько подходов: подобные слагаемые, формулы, затем уравнение и самостоятельная работа.
Начните с цепочки действий над одночленами
Покажите ребёнку начальное выражение 2a². Каждая стрелка в разминке задаёт новое действие над результатом предыдущего шага. Сначала попросите назвать действие, затем выполнить его.
| Шаг | Что делаем | Результат |
|---|---|---|
| 1 | К 2a² прибавляем a² | 3a² |
| 2 | Возводим весь результат 3a² в квадрат | 9a⁴ |
| 3 | Умножаем 9a⁴ на 6a | 54a⁵ |
| 4 | Делим 54a⁵ на 18a² | 3a³, при a ≠ 0 |
На первом шаге складываем коэффициенты: 2 + 1 = 3. Буквенная часть a² остаётся прежней. Это сложение трёх одинаковых частей a², а не перемножение степеней.
На втором шаге нужны скобки: (3a²)² = 3² · (a²)² = 9a⁴. В квадрат возводится и коэффициент, и буквенная часть. Если ребёнок получил 3a⁴, попросите показать, почему тройка не была умножена сама на себя.
На третьем шаге действие другое: перемножаем коэффициенты 9 · 6 = 54 и степени с одинаковым основанием a⁴ · a = a⁵. При умножении показатели складываются; при возведении степени в степень, как на предыдущем шаге, перемножаются. Не объединяйте эти два правила в одно «всегда складывай степени».
Для последнего шага 54 : 18 = 3, а a⁵ : a² = a³. Исходное деление допустимо только при a ≠ 0: иначе делитель 18a² равен нулю. То, что сокращённая запись 3a³ сама по себе допускает a = 0, не разрешает подставлять ноль в исходную дробь.
Объясните, из чего состоит многочлен
В уроке берут одночлены 3a, −2c и x и составляют из них сумму:
3a − 2c + x.
Это многочлен. Объясните ребёнку: «Мы соединяем одночлены сложением. Отрицательное слагаемое −2c записываем с его минусом». Знак относится к члену: при группировке нельзя оставить минус на старом месте, а перенести только 2c.
Одночлен тоже рассматривают как многочлен. Поэтому после упрощения может остаться единственное слагаемое — это нормальный результат, а не признак незаконченного решения.
Попросите ребёнка назвать все три члена вместе со знаками. Затем спросите, какие из них можно сложить в одно слагаемое. Здесь буквенные части различаются: a, c и x. Одного числового ответа без заданных значений букв у этой записи нет; задача сейчас состоит в правильном чтении её состава.
Приведите многочлен к стандартному виду в два шага
Многочлен стандартного вида состоит из одночленов стандартного вида и не содержит подобных членов. Для домашнего объяснения удобно разделить работу на два шага.
Первый — упорядочить запись каждого одночлена: выполнить умножение числовых множителей, собрать степени одинаковых букв. Второй — объединить подобные слагаемые, у которых совпадает вся буквенная часть со всеми показателями.
Исходный пример урока:
2xx + 3x − 5x + x² · 4.
Сначала 2xx превращается в 2x², а x² · 4 — в 4x². Получаем:
2x² + 3x − 5x + 4x².
Теперь выделяем две группы. У 2x² и 4x² одинаковая буквенная часть x²: их сумма 6x². У 3x и −5x буквенная часть x: сумма −2x. Ответ:
6x² − 2x.
Не складывайте 6x² и −2x дальше: x² и x — разные буквенные части. Полезная фраза родителя: «Сначала сравни буквы и степени, только потом складывай коэффициенты».
Запись по убыванию степени удобна для чтения, но сама перестановка членов ещё не приводит многочлен к стандартному виду. Например, в 2x² + 4x² − 2x подобные квадратичные члены всё ещё не объединены.
Разберите четыре задания на подобные слагаемые
Предложите ребёнку выполнить исходные задания без ответов. Пусть подчёркивает одинаковые буквенные части одинаковым способом, а знаки переносит вместе с членами.
| Исходное выражение | Ответ для проверки |
|---|---|
| 12x − 6xy − xy | 12x − 7xy |
| 5ac − 7ac + 11a²c | −2ac + 11a²c |
| 2x⁴ − 4x + 6x² − 6x⁴ + 5x | −4x⁴ + 6x² + x |
| 2a³ + a² − 19 − a² + a³ − a − 50 | 3a³ − a − 69 |
Первое задание. У −6xy и −xy коэффициенты −6 и −1. Их сумма −7. Член 12x остаётся отдельно: x и xy не совпадают, хотя в обеих записях есть x.
Второе. 5ac − 7ac = −2ac. Член 11a²c не подходит в эту группу: показатель у a другой. Ответ можно также расположить по убыванию степени: 11a²c − 2ac. Это та же сумма в другом порядке.
Третье. Сначала квадратичные и четвёртые степени держим отдельно: 2x⁴ − 6x⁴ = −4x⁴, а 6x² остаётся без пары. Линейные члены дают −4x + 5x = x. Перед одиночным x коэффициент 1 обычно не пишут.
Четвёртое. Кубы дают 3a³, члены a² и −a² взаимно уничтожаются, −a остаётся. Числа тоже можно объединить: −19 − 50 = −69. Не теряйте эту группу только потому, что в ней нет буквы.
Если ребёнок получил 3a³ − a, попросите проверить, куда исчезли числа. Если объединил ac и a²c, вернитесь к сравнению буквенной части целиком. Общая буква сама по себе ещё не делает слагаемые подобными.
Покажите сложение двух многочленов
Следующая задача:
(y² − 8y) + (8y − 4y²).
Перед второй скобкой стоит плюс, поэтому при снятии этих скобок знаки членов сохраняются:
y² − 8y + 8y − 4y².
Теперь −8y + 8y = 0, а y² − 4y² = −3y². Ответ — −3y².
Попросите ребёнка назвать причину исчезновения линейных членов: это взаимно противоположные слагаемые, их сумма равна нулю. Они не «сократились через знак плюс» по правилу сокращения дроби.
Рядом позже встретится минус перед скобками. Пока полезно проговорить именно условие этого шага: перед скобкой плюс, поэтому не нужно менять каждый внутренний знак на противоположный.
Раскройте две скобки без потери знака
Разберите (x − 7)(x + 2). Каждый член первой скобки нужно умножить на каждый член второй. Получаются четыре произведения:
- x · x = x²;
- x · 2 = 2x;
- (−7) · x = −7x;
- (−7) · 2 = −14.
Собираем их в сумму:
x² + 2x − 7x − 14 = x² − 5x − 14.
В исходном разборе этого примера встречается ошибочное +14. Здесь нужен −14, потому что отрицательное число −7 умножается на положительное 2. В нашем объяснении используем правильный знак.
Проверить его можно без длинных вычислений: подставьте x = 0. Исходное произведение равно (−7) · 2 = −14. Наша итоговая запись тоже даёт −14, а вариант с +14 дал бы другое число.
Одна подстановка помогает опровергнуть неверное равенство, но совпадение при единственном x ещё не доказывает правильность преобразования для всех x. Обоснование здесь — распределительный закон и четыре правильно найденных произведения.
Если ребёнок записал только x² − 14, попросите показать, куда делись два перекрёстных произведения. Они дают 2x и −7x, а не ноль.
Соберите карту пяти формул
Формулы сокращённого умножения — готовые равенства, которые позволяют быстрее раскрывать некоторые произведения или, наоборот, узнавать множители по сумме. Сначала определяйте устройство выражения, затем подбирайте подходящую формулу.
| Название | Равенство |
|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) |
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) |
| Разность кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) |
Для первых двух формул напомните смысл квадрата: это произведение двух одинаковых скобок. У квадрата суммы возникают два одинаковых перекрёстных произведения ab, поэтому появляется 2ab. В квадрате разности средний член отрицательный, а последний квадрат положительный: (−b) · (−b) = b².
Не путайте (a − b)² с a² − b². В первой записи есть средний член −2ab. Во второй изначально вычитают два квадрата, и она раскладывается в произведение разных скобок.
В кубических формулах проверьте отдельно знак перед ab: у суммы кубов в трёхчлене стоит минус, у разности кубов — плюс. Последний b² положителен в обеих формулах. Не переносите один и тот же знак во все места по внешнему сходству названия.
Формулы можно читать в обе стороны. Если ребёнку трудно вспомнить равенство, разрешите раскрыть скобки обычным умножением и объединить подобные. Быстрый способ полезен после понимания, а не вместо него.
Найдите шесть соответствий и соберите слово
В уроке шесть выражений сопоставляют с результатами, около которых стоят буквы. Сначала решите математическую часть; слово служит дополнительной проверкой.
| Выражение | Результат | Буква |
|---|---|---|
| x(x − 2) | x² − 2x | Д |
| (x − 2)(x + 2) | x² − 4 | Е |
| (x − 2)² | x² − 4x + 4 | К |
| (x + 2)² | x² + 4x + 4 | А |
| (x + 2)(x² − 2x + 4) | x³ + 8 | Р |
| (x − 2)(x² + 2x + 4) | x³ − 8 | Т |
В первой строке распределяем x на оба члена скобки. Во второй узнаём разность квадратов, причём 2² = 4. В третьей и четвёртой средний член имеет модуль 2 · x · 2 = 4x: отличается его знак.
В пятой строке работают сумма кубов и 2³ = 8. В шестой — разность кубов. Обратите внимание, что между x и 2x в длинной скобке меняется знак в соответствии с формулой.
Буквы по порядку исходных выражений дают ДЕКАРТ. В уроке это повод вспомнить фамилию математика. Для проверки решения достаточно самого соответствия: не подбирайте ответ только по буквам ещё до вычисления.
Восстановите два пропуска в сумме кубов
Исходное задание записано так:
___ + ___ = (4a + 5)(16a² − 20a + 25).
Здесь пропущены именно два слагаемых слева. Чтобы не путать a из условия с буквами общей формулы, назовите её части A = 4a, B = 5.
Проверяем длинную скобку: A² = 16a², AB = 20a, B² = 25. Значит, справа стоит (A + B)(A² − AB + B²), то есть разложение суммы кубов A³ + B³.
Вычисляем куб каждой части:
(4a)³ = 4³a³ = 64a³, а 5³ = 125.
Заполненное равенство:
64a³ + 125 = (4a + 5)(16a² − 20a + 25).
Если ребёнок получил 12a³, попросите раскрыть смысл (4a)³: это 4a · 4a · 4a. Четвёрку нужно возвести в куб, а не умножить на показатель 3. Если записал 64a, отдельно проверьте три множителя a.
Решите уравнение с минусом перед скобками
В уроке дано:
(13 + 10x) − (8x − 11) = 15.
При вычитании всей второй скобки вычитаются оба её слагаемых. Получается −8x − (−11), то есть −8x + 11. Первая строка без скобок:
13 + 10x − 8x + 11 = 15.
Число 11 здесь — постоянный член, буквы x при нём нет. Объединяем подобные: 10x − 8x = 2x, 13 + 11 = 24. Получаем 2x + 24 = 15.
Вычитаем 24 из обеих частей равенства: 2x = −9. Делим обе части на ненулевое число 2: x = −4,5.
Можно записать промежуточный переход и в виде 10x − 8x = 15 − 13 − 11. Важно понимать, почему знаки изменились: мы выполняем одинаковые действия с обеими частями, а не просто переносим символы по внешнему правилу.
Проверьте корень в исходном уравнении. Первая скобка равна 13 + 10 · (−4,5) = −32. Вторая: 8 · (−4,5) − 11 = −47. Тогда −32 − (−47) = 15, правая часть совпала.
Если ответ не прошёл проверку, сначала вернитесь к раскрытию скобок. Частая ошибка здесь — написать −11 вместо +11 после минуса перед второй скобкой.
Предложите три самостоятельных преобразования
Перед проверкой попросите ребёнка для каждого условия назвать план. Нужно ли обычное умножение, квадрат разности или сразу две формулы?
Произведение с противоположными знаками
(2a + 4)(2a − 4). Это разность квадратов частей 2a и 4:
(2a)² − 4² = 4a² − 16.
В квадрат возводится вся часть 2a. Ответ 2a² − 16 потерял бы квадрат коэффициента.
Квадрат разности с двумя буквами
(a − 2c)². Вторая часть формулы — всё выражение 2c:
a² − 2 · a · 2c + (2c)² = a² − 4ac + 4c².
Сравните средний и последний члены. Удвоенное произведение даёт 4ac, а квадрат второй части — 4c². Запись a² − 4c² без среднего члена относится к другому выражению.
Две формулы в одной сумме
(a − 3)² + (a − 3)(a + 3) + a. Сначала преобразуем каждую часть отдельно:
- (a − 3)² = a² − 6a + 9;
- (a − 3)(a + 3) = a² − 9;
- последнее слагаемое a сохраняем.
Соединяем результаты: a² − 6a + 9 + a² − 9 + a. Квадраты дают 2a², линейные члены — −5a, числа 9 и −9 взаимно уничтожаются. Итог: 2a² − 5a.
Попросите ребёнка проверить, что каждое исходное слагаемое использовано один раз. Особенно легко забыть последнее +a, когда внимание занято двумя формулами.
Разберите пять пар отдельного упражнения
После видео предлагают сопоставить многочлен в виде произведения с его стандартным видом. Здесь пять фиксированных пар. Закройте ответы и предложите сначала определить способ преобразования.
| Произведение | Стандартный вид |
|---|---|
| 5(x − 2)(x − 3) | 5x² − 25x + 30 |
| (x − 6)² | x² − 12x + 36 |
| (x + 5)(5 − x) | −x² + 25 |
| x³(5x − 2) | 5x⁴ − 2x³ |
| (x − 12)(2x + 5) | 2x² − 19x − 60 |
Первая пара. Сначала (x − 2)(x − 3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. Затем умножаем каждый член на 5: 5x² − 25x + 30. Внешняя пятёрка относится не только к x².
Вторая. Квадрат разности даёт x² − 2 · x · 6 + 6² = x² − 12x + 36. Если ребёнок получил −36, вернитесь к последнему произведению (−6) · (−6).
Третья. Первая скобка x + 5 равна 5 + x. Тогда (5 + x)(5 − x) = 25 − x². Запись −x² + 25 в ответе — та же разность, только члены переставлены. Проверить можно и обычным раскрытием: 5x − x² + 25 − 5x.
Четвёртая. Распределяем x³ на два члена: x³ · 5x − x³ · 2 = 5x⁴ − 2x³. У первого произведения показатель увеличился до 4, а во втором дополнительного множителя x не было — степень 3 сохраняется.
Пятая. Выписываем четыре произведения: 2x² + 5x − 24x − 60. После объединения 5x − 24x = −19x получаем 2x² − 19x − 60. Число −60 возникает из (−12) · 5; его знак удобно проверить отдельно.
Проверяйте причину первого неверного перехода
После работы попросите ребёнка объяснить три вещи: по какому признаку он узнаёт подобные слагаемые, откуда берётся средний член квадрата суммы или разности и что делает минус перед скобками.
Если ошибка в коэффициенте, оставьте буквенную часть и пересчитайте числа. Если в степени — вернитесь к смыслу умножения или возведения в степень. Если в знаке — выпишите соответствующее произведение отдельно, как (−7) · 2. Если потерялось слагаемое, сопоставьте исходную строку и все части следующей.
Не требуйте сразу скорости. Умение показать основание перехода полезнее угадывания подходящей строки в таблице. После исправления дайте похожий пример из этой же статьи и предложите выполнить его без подсказки. По ответу и объяснению будет видно, какой шаг уже получается самостоятельно.
Практика без регистрации
Закрепите тему
Ответьте на вопросы с пояснениями. Ответы и результаты не сохраняются — после перезагрузки можно начать заново.
Загружаем тренажёр…
Сохраните отметку о теме
Создайте бесплатный аккаунт, чтобы отмечать разобранные темы и вести предметные чек-листы. Добавлять ребёнка не потребуется.
