Как объяснить ребёнку умножение на 0 и 1

При умножении на 1 число сохраняется, а при умножении на 0 получается 0. Это можно показать на шоколадках и пустых вазах, как в уроке Ёшколы. Одна шоколадка каждому из трёх детей — три шоколадки. Три шоколадки одному ребёнку — тоже три. А в пяти вазах без цветов всего ноль цветов, хотя сами вазы есть.

Ниже — домашний разбор для второго класса. Сначала покажем действие, затем запишем правило. В конце отдельно напомним, почему ноль после знака деления требует другого решения.

Подготовьте три предмета и пять небольших ёмкостей

Возьмите три бумажные шоколадки или одинаковые фишки, три карточки получателей и пять стаканчиков вместо ваз. Для записей понадобятся лист и карандаш.

Сначала договоритесь, что считаете. В первой истории — шоколадки, во второй — цветы в вазах. Дети, карточки и вазы помогают увидеть группы, но не прибавляются к числу шоколадок или цветов.

В этой статье читаем произведение так: первое число — по сколько берём, второе — сколько раз берём. Запись 1 × 3 означает «по одному взять три раза».

Реплика ребёнку:

«Покажи, сколько предметов получает каждый. Теперь посчитай получателей. После этого узнаем, сколько предметов раздали всего».

По одной шоколадке троим: 1 × 3 = 3

Поставьте три карточки детей. Положите перед каждой одну бумажную шоколадку. Получилось три отдельные группы по одному предмету.

Разверните запись в сумму:

1 × 3 = 1 + 1 + 1 = 3.

Попросите ребёнка показать каждую единицу в сумме. Она соответствует одной шоколадке у одного получателя. Затем пересчитайте все шоколадки: их три.

Не добавляйте к трём шоколадкам ещё одну из-за того, что в произведении встречается единица. Здесь единица сообщает размер каждой группы. Она не является командой «прибавь один».

Скажите:

«У каждого по одной. Детей трое. Мы раздали три шоколадки: одну, ещё одну и ещё одну».

Так становится понятно и 1 × 5 = 5: если пяти получателям дать по одному предмету, всего потребуется пять предметов.

Три шоколадки одному: 3 × 1 = 3

Оставьте одну карточку ребёнка и положите перед ней сразу три шоколадки. Теперь группа одна, а предметов в ней три:

3 × 1 = 3.

В уроке рядом сопоставлены обе ситуации. В первой трое детей получают по одной шоколадке, во второй один ребёнок получает три. Общее количество одинаковое — три шоколадки, но группировка разная.

Попросите ребёнка объяснить отличие, не меняя предмет счёта:

• 1 × 3 — по одной шоколадке троим;
• 3 × 1 — три шоколадки одному.

Оба произведения равны трём. Перестановка множителей не делает вычисление неправильным. Когда нужно объяснить конкретную модель, назовите словами роль каждого числа.

Обобщение: если взять число один раз, оно и останется. Поэтому 8 × 1 = 8, а не 9. Прибавление единицы выглядело бы иначе: 8 + 1 = 9. Сначала смотрим на знак действия.

Ноль цветов в пяти вазах: 0 × 5 = 0

Поставьте пять пустых стаканчиков. Представьте, что это вазы. Спросите:

«Сколько ваз? Пять. А сколько цветов в каждой? Ноль. Мы сейчас ищем количество цветов, а не ваз».

В уроке показаны именно пять пустых ваз. В каждой по ноль цветов, такую группу берём пять раз:

0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Покажите каждый ноль рядом со своей вазой. В сумме должно быть пять слагаемых: по одному для каждой из пяти групп. Четыре нуля тоже дали бы ноль, но описывали бы уже четыре такие группы.

Если ребёнок отвечает «пять», уточните: «Пять чего?» Ваз действительно пять. Цветов не появилось, поэтому их общее количество равно нулю.

Меняйте число пустых стаканчиков. Два, три или пять сосудов без цветов не создают цветы сами по себе. Так ребёнок понимает, почему 0 × 2 = 0 и 0 × 5 = 0.

А почему 5 × 0 тоже равно нулю

Здесь по нашей договорённости нужно взять по пять ноль раз: не взять ни одной группы по пять. Предметов в выбранных группах будет ноль.

Можно проверить результат и знакомым свойством умножения: от перестановки множителей произведение не меняется. Значит:

5 × 0 = 0 × 5 = 0.

Важно не смешать эту ситуацию со сложением. 5 + 0 = 5 означает, что к пяти ничего не добавили. 5 × 0 = 0 — что групп по пять не взяли ни разу. Одинаковая цифра ноль не превращает разные действия в одно.

Не объясняйте все примеры словами «ноль всё проглотит». Для умножения результат с нулевым множителем действительно нулевой. Но в 5 + 0 пятёрка сохраняется. Ребёнку нужна опора на действие, а не подсказка отвечать ноль при виде любой такой цифры.

Запишите короткую памятку

В уроке правила записаны с буквой a: a × 1 = a, a × 0 = 0. Здесь буква обозначает выбранное число, а не отдельный новый ответ. Для наших примеров берём целые неотрицательные числа.

Предложите подставить вместо a число 7: 7 × 1 = 7, 7 × 0 = 0. Затем поменяйте порядок множителей: 1 × 7 = 7, 0 × 7 = 0.

Отдельная памятка: на ноль делить нельзя

Умножение с нулём допустимо, а деление на ноль в школьной арифметике не выполняют. Не переносите ответ ноль из произведения в запись 4 : 0.

В другом уроке Ёшколы предлагают историю с четырьмя бутербродами: как разделить их между нулём получателей? Эта ситуация подводит к запрету. Если получателей четыре, обычное распределение понятно: 4 : 4 = 1 бутерброд каждому.

Для родителя полезна дополнительная проверка умножением. Чтобы получить результат 4 : 0, пришлось бы найти число, которое при умножении на ноль даст четыре. Такого числа нет: умножение на ноль даёт ноль.

При этом 0 : 4 = 0 — допустимая запись. В продолжении истории бутербродов нет, а четверо получателей есть: каждому достаётся ноль бутербродов. Сравните, где стоит ноль:

• 0 : 4 = 0 — ноль делим на ненулевое число;
• 4 : 0 — делитель ноль, так делить нельзя.

Этот запрет относится и к 0 : 0: такую запись не вычисляем. Не заменяйте правило фразой «ноль делить нельзя вообще» — пример 0 : 4 показывает разницу.

Как помочь при ошибках

При умножении на 1 прибавляет единицу. Поставьте рядом 3 × 1 и 3 + 1. В первом случае взяли три один раз, во втором добавили к трём ещё один предмет.

При умножении на 0 сохраняет число. Вернитесь к пустым вазам и различию 5 × 0 и 5 + 0. Сначала попросите назвать действие.

Вместо цветов считает вазы. Не спорьте с числом пять: оно верно для ваз. Уточните вопрос: сколько именно цветов?

Запоминает формулу, но не объясняет её. Дайте ребёнку самому разложить шоколадки, показать группы и прочитать запись словами. Затем смените число получателей или размер единственной группы.

Домашняя проверка с ответами

1. Объясни на шоколадках 1 × 3 и 3 × 1. Сколько получится в каждом случае?
2. В пяти вазах по ноль цветов. Сколько цветов всего? Сколько самих ваз?
3. Сосчитай 7 × 0 и 7 + 0. Почему ответы разные?
4. Чему равно 8 × 1? Нужно ли прибавлять единицу?
5. Какие записи допустимы: 0 : 4, 4 : 0? Найди результат там, где делить можно.

Ответы: 1 — по три шоколадки, но в первом случае три группы по одной, во втором одна группа из трёх; 2 — ноль цветов и пять ваз; 3 — 0 и 7, действия разные; 4 — 8, число взяли один раз; 5 — 0 : 4 = 0, а на ноль делить нельзя, поэтому 4 : 0 не вычисляем.

Хотите, чтобы школьные темы объясняли за вас? Запишитесь в тест-драйв курса математики 2 класса Ёшколы. В видеоуроках мы объясним материал ребёнку и предложим задания для закрепления. Вы сможете попробовать формат и решить, как продолжать обучение.