Как объяснить ребёнку обратные задачи

Разберём обратные задачи для второго класса: три задачи о карандаше и ластике, три — о примерах, решённых Плюсиком, и ещё три для самостоятельной работы. В каждой семье сохраняются одни и те же количества. Меняется то, что известно и что нужно найти. Затем составим задачи по краткой записи и чертежу отрезков.

Что подготовить и с чего начать

Возьмите бумагу, карандаш и три небольшие карточки. На двух напишите «карандаш — 6 рублей» и «ластик — 4 рубля», на третьей — «вместе — 10 рублей». Сначала положите их открыто. Попросите ребёнка показать стоимость каждой вещи и стоимость всей покупки.

Затем закрывайте одну карточку листком со знаком вопроса. Это домашний способ разыграть те же отношения, которые в уроке показывают краткой записью и схемой из квадратов. Новую покупку придумывать не нужно: карандаш по-прежнему стоит 6 рублей, ластик — 4, вместе — 10.

«Сейчас мы знаем две стоимости и ищем третью. Покажи, что нам уже сообщили. А какая карточка закрыта?»

Если ребёнок пока неуверенно считает, сначала дайте ему пересчитать небольшие группы предметов. Здесь важен выбор действия по смыслу задачи. Скорость вычисления сама по себе ещё не показывает, понял ли ребёнок, какое количество ищет.

Короткая разминка: идём по цепочке

Перед задачами в уроке есть цепочка с круглыми десятками. Начните с 20 и выполняйте действия по очереди. Каждый следующий шаг начинается с предыдущего ответа.

Начальное и последнее числа совпали: получилось 20. Если ответ другой, предложите сверить все промежуточные результаты. Так ребёнок найдёт конкретный шаг, где возникла ошибка. Совпадение последнего числа полезно для проверки, но промежуточные вычисления тоже нужно просмотреть.

Первая задача: сколько стоит вся покупка

Ира купила карандаш за 6 рублей и ластик за 4 рубля. Сколько стоят карандаш и ластик вместе?

Попросите ребёнка назвать обе известные части: стоимость карандаша и стоимость ластика. Искомое целое — стоимость всей покупки. Чтобы узнать её, соединяем две стоимости: 6 + 4 = 10 (р.). Ответ: карандаш и ластик вместе стоят 10 рублей.

Покажите два варианта краткой записи. В первом запишите «К. — 6 р.» и ниже «Л. — 4 р.». Справа объедините строки фигурной скобкой и поставьте вопрос: он относится к двум вещам вместе. Сначала расшифруйте сокращения: К. — карандаш, Л. — ластик.

Во втором варианте нарисуйте два квадрата со значениями 6 р. и 4 р. Под ними проведите объединяющую дугу и ниже поставьте квадрат со знаком вопроса. Верхние квадраты показывают части, нижний — целое. Это схема отношений; размеры квадратов не изображают стоимость в масштабе.

Не требуйте сразу рисовать оба варианта. Пусть ребёнок выберет один и объяснит, где на нём карандаш, где ластик и какое количество обозначает вопрос.

Вторая задача: сколько стоит ластик

На 10 рублей Ира купила карандаш и ластик. Карандаш стоит 6 рублей. Сколько стоит ластик?

Сюжет тот же, но теперь вся покупка уже известна: 10 рублей. Из неё 6 рублей приходятся на карандаш. Закройте карточку с ценой ластика и спросите, какое количество осталось найти.

В буквенной записи рядом с ластиком будет вопрос, а у общей скобки — 10 р. На схеме два верхних квадрата содержат 6 р. и вопрос; нижний — 10 р. Положение целого и частей сохраняется.

«Вся покупка стоит 10 рублей. В эти 10 уже входят 6 рублей за карандаш. Узнаем, сколько из общей стоимости приходится на ластик».

Решение: 10 − 6 = 4 (р.). Ответ: ластик стоит 4 рубля. Проверьте, сложив найденную стоимость с известной: 6 + 4 = 10. Получилась стоимость всей покупки.

Третья задача: сколько стоит карандаш

На 10 рублей Ира купила карандаш и ластик. Ластик стоит 4 рубля. Сколько стоит карандаш?

Теперь закрыта другая часть. Вся покупка — 10 рублей, ластик — 4 рубля, карандаш неизвестен. Переставьте вопрос к карандашу, сохранив остальные подписи на своих местах.

Из стоимости всей покупки вычитаем стоимость ластика: 10 − 4 = 6 (р.). Ответ: карандаш стоит 6 рублей. Проверка: 6 + 4 = 10.

Попросите ребёнка сравнить вторую и третью задачи. В обеих известно целое, но известные части разные. Поэтому из 10 во второй задаче вычитали 6, а в третьей — 4.

Что делает эти задачи обратными

В нашей семье задач связаны три количества: две части и целое. В исходной задаче известны обе части, а целое находят сложением. В каждой обратной задаче известны целое и одна часть, а другую часть находят вычитанием.

Ответ исходной задачи становится известным числом в обратной. Одно из чисел, которое раньше было известно, превращается в искомое. Сохраняются сами отношения между величинами: цена карандаша вместе с ценой ластика даёт стоимость покупки.

1. Назовите две части и целое: карандаш 6 рублей, ластик 4 рубля, покупка 10 рублей.
2. Оставьте известными две стоимости, третью закройте вопросом.
3. Сформулируйте полный вопрос о закрытой стоимости.
4. Выберите действие по тому, ищете вы целое или его часть.
5. Решите задачу и проверьте, что обе части снова дают целое.

Просто поменять порядок предложений недостаточно. Ребёнок должен изменить, что дано и что спрашивается. Обсудите это на карточках, а затем попросите его рассказать одну из обратных задач своими словами.

Закрепляем на задачах о примерах

Плюсик — герой урока Ёшколы. Теперь речь о количестве решённых им примеров, а не о рублях. Разделите их на две группы: примеры на сложение и примеры на вычитание.

Найти общее количество

Плюсик решил 3 примера на сложение и 4 примера на вычитание. Сколько всего примеров решил Плюсик?

Обе группы известны, общее количество пока нет. На схеме сверху запишите 3 и 4, под объединяющей дугой поставьте вопрос. 3 + 4 = 7 (пр.). Ответ: Плюсик решил 7 примеров.

Найти количество примеров на вычитание

Плюсик решил 7 примеров. Из них 3 примера на сложение. Сколько примеров на вычитание решил Плюсик?

Всего уже известно 7. Группа из 3 входит в это количество. Значит, для второй группы осталось 7 − 3 = 4 (пр.). Ответ: Плюсик решил 4 примера на вычитание. Проверка: 3 + 4 = 7.

Найти количество примеров на сложение

Плюсик решил 7 примеров. Из них 4 примера на вычитание. Сколько примеров на сложение решил Плюсик?

В вопросе есть слово «сложение», но оно называет нужную группу примеров. Саму задачу решаем вычитанием: из общего количества убираем известную группу. 7 − 4 = 3 (пр.). Ответ: Плюсик решил 3 примера на сложение.

Если ребёнок предлагает 7 + 4 = 11, попросите показать на схеме, откуда взялись дополнительные четыре примера. Они уже входят в семь. Прибавляя их ещё раз, мы учитываем одну группу дважды. Затем вернитесь к двум частям: 3 и 4 вместе дают 7.

Самостоятельная работа: три задачи о Коле

Предложите ребёнку сначала нарисовать схему для каждой задачи и поставить вопрос. После этого выбрать выражение, вычислить и записать ответ. Здесь сохраняются две группы примеров, но числа другие.

1. Коля решил 5 примеров на сложение и 7 примеров на вычитание. Сколько всего примеров решил Коля?
2. Коля решил 12 примеров на сложение и вычитание. 5 примеров было на сложение. Сколько примеров на вычитание решил Коля?
3. Коля решил 12 примеров на сложение и вычитание. 7 примеров было на вычитание. Сколько примеров на сложение решил Коля?

Ответы для взрослого: 5 + 7 = 12; 12 − 5 = 7; 12 − 7 = 5. В первой задаче Коля решил всего 12 примеров; во второй искомая группа на вычитание содержит 7 примеров; в третьей группа на сложение — 5. Попросите назвать не только число, но и то, что оно обозначает.

Все три семьи задач в одной таблице

Когда ребёнок записывает решение, помогите сохранить единицы: в покупке считаем рубли, в заданиях героев — примеры. В ответе называем искомое полностью. Имя Плюсик пишется с заглавной буквы.

Ещё одна разминка: пять примеров с девяткой

В следующем уроке пять зверят украшают ёлку. На шарах записаны примеры. Дома можно обойтись карточками: сначала предложите вычислить, затем откройте ответы. В таблице примеры расположены по возрастанию первого слагаемого, чтобы ребёнку было удобнее сравнивать результаты.

Ответы идут по порядку: 12, 13, 14, 15, 16. Если один результат выбивается, попросите пересчитать именно этот пример. Сам порядок служит подсказкой, но ребёнок должен проверить и вычисление.

Как придумать задачу по краткой записи

Теперь предложите сначала схему, а не готовое условие. На двух верхних карточках — 2 груши и 4 яблока. Под объединяющей дугой — знак вопроса. Спросите ребёнка, что объединяем и о каком количестве нужно спросить.

«У Плюсика есть две груши и четыре яблока. Что мы можем узнать о них вместе? Расскажи задачу целиком и закончи её вопросом».

После собственной попытки сравните рассказ с образцом: «У Плюсика 2 груши и 4 яблока. Сколько всего у него фруктов?» Две известные части объединяем: 2 + 4 = 6 (ф.). Всего 6 фруктов.

Затем переставьте вопрос. Количество всех фруктов уже известно — 6, а одну из двух групп закрыли. Попросите каждый раз произнести полное условие, а не только готовое выражение.

Если ребёнок назвал «6 яблок», вернитесь к подписи нижней карточки: шесть — это все фрукты, включая груши. В решении важно не потерять название искомой группы. Эта семья показывает тот же приём, что и покупка Иры, но здесь мы считаем предметы.

Покажите ту же связь на отрезках

Начертите один прямой отрезок и отметьте внутри него точку. Получатся два отрезка-части и весь исходный отрезок. Поэтому в таком чертеже можно показать три отрезка: левую часть, правую часть и целое. Общий отрезок не становится третьим отдельным куском, который надо добавить к первым двум.

В уроке одна часть имеет длину 8 см, другая — 2 см. Над каждой частью проведена своя дуга с подписью, под всем отрезком — общая дуга. Попросите ребёнка показать пальцем, к каким концам относится каждая подпись. Длины читаем по условиям; измерять картинку на экране линейкой не нужно.

Во второй задаче нужно вычесть известные 8 см, а не автоматически самое маленькое число. Попросите показать, какая часть уже названа и какую нужно найти. В проверке 8 + 2 = 10 обе части снова составляют целое.

Здесь сохраняется длина, поэтому в решении и ответе пишем сантиметры. Не смешиваем количество отрезков на чертеже с длиной: число 3 отвечает на вопрос «сколько отрезков можно показать», а 10 см — «какова длина всего отрезка».

Самостоятельно: составьте семью задач о пирожках

В задании к уроку мама испекла пирожки с двумя начинками. Предложите ребёнку сначала нарисовать две группы и общее количество, а затем решить все три задачи.

1. Мама испекла 5 пирожков с капустой и 3 с картошкой. Сколько всего пирожков она испекла?
2. Мама испекла 8 пирожков. Из них 3 с картошкой, остальные с капустой. Сколько пирожков с капустой?
3. Мама испекла 8 пирожков. Из них 5 с капустой, остальные с картошкой. Сколько пирожков с картошкой?

Ответы для взрослого: 5 + 3 = 8 пирожков всего; 8 − 3 = 5 пирожков с капустой; 8 − 5 = 3 пирожка с картошкой. В каждом ответе пусть ребёнок назовёт начинку, если вопрос задан о конкретной группе.

Спросите: «Что во второй задаче стало известным из ответа первой? Что теперь спрятано под вопросом?» Затем попросите сравнить эту семью с фруктами и отрезками. В выбранных задачах две известные части помогают найти целое, а известные целое и одна часть — другую часть. Не обязательно разбирать все семьи за один подход: сохраните примеры для повторения.

Как помочь при затруднениях

• Складывает все числа из условия. Попросите показать известное целое. Если общая стоимость уже дана, её не нужно прибавлять к цене одной вещи. Закройте нужную карточку и снова назовите вопрос.
• Выбирает действие по слову «сложение» или «вычитание». Разделите название группы и действие над количествами. В задаче про 7 примеров ищем группу «на сложение», вычисляя 7 − 4.
• Меняет числа, составляя обратную задачу. Откройте исходные карточки 6, 4 и 10. Поменять нужно известное и неизвестное, сохранив стоимость каждой вещи и всей покупки.
• Получает число, но отвечает не на вопрос. Попросите закончить фразу: «Я узнал, сколько…». Сопоставьте её с вопросом. Ответ «4» без названия величины ещё не показывает, что ребёнок нашёл именно ластик или нужную группу примеров.

Как проверить понимание

Оставьте перед ребёнком три числа одной семьи и попросите составить исходную и две обратные задачи. Для каждой пусть он покажет вопрос на схеме, объяснит действие и назовёт ответ. При проверке одной части предложите снова соединить её с другой и получить известное целое.

Если ребёнок может объяснить, почему во второй и третьей задачах ищут часть, он уже видит общую связь. Если только повторяет готовые выражения, вернитесь к одной семье карточек и по очереди закрывайте разные стоимости. После этого можно перейти к заданиям тренажёра.

Попробуйте практику и выберите следующий шаг

В тренажёре можно проверить выбор действия и ответы по разобранным задачам. После проверки обсудите объяснения вместе с ребёнком. Полезно также попросить его нарисовать свою краткую запись: выбор готового ответа не заменяет этот шаг.

Хотите полностью пройти математику за второй класс? Запишитесь в тест-драйв курса Ёшколы: мы объясним ребёнку темы, покажем способы решения и поможем потренироваться. А эту статью можно сохранить для домашних объяснений.