Как объяснить ребёнку сложение и вычитание без перехода через десяток

В этом разборе для 1 класса пройдём весь путь: вспомним десятки, соберём двузначное число, разложим его на части и решим примеры двузначное число плюс или минус однозначное — без перехода через десяток. Сначала будем работать в пределах 20, затем применим тот же способ к числам до 100.

В таких примерах меняется количество отдельных единиц, а полные десятки сохраняются. Это верно для выбранных вычислений: при сложении из единиц не образуется новый десяток, а при вычитании не приходится разменивать десяток. Например, 14 + 3 = 17, потому что четыре единицы и три единицы дают семь, а один десяток остаётся.

Что подготовить и с чего начать

Возьмите лист в клетку, карандаш и шестнадцать бумажных кружков. Десять кружков соедините линией в одну гирлянду, остальные оставьте отдельно. Так мы сохраним способ из урока Ёшколы: одна гирлянда из десяти шаров и одиночные шары рядом. Для следующих примеров можно дорисовывать группы по десять и отдельные кружки.

Перед вычислениями предложите короткую разминку для письма. В уроке ребёнок повторяет цифровой геометрический узор: два раза пишет цифру 1, рисует жёлтый кружок, два раза пишет 2, рисует зелёный; дальше так же до пары девяток, чередуя цвет кружков между парами. Следите, чтобы ребёнок не пропускал цифры и сохранял порядок.

Здесь тренируются начертания отдельных цифр. Пары записанных единиц и двоек не нужно читать как числа 11 и 22: это другой смысл задания. После короткой разминки переходите к количествам.

Если ребёнок устал, разделите объяснение на два подхода: сначала десятки и разложение числа, затем вычисления. В самом уроке перед тренировкой тоже есть перерыв.

Вспомните десяток и посчитайте десятками

Попросите пересчитать кружки в гирлянде. Их десять. Назовите группу: один десяток.

Скажите ребёнку:

«Гирлянда одна, но шаров в ней десять. Мы считаем шары. Один десяток — это десять единиц, собранных вместе».

Теперь посчитайте десятками вперёд:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.

Затем обратно:

100, 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10.

Сначала произнесите ряды вместе, потом предложите ребёнку повторить их самостоятельно. Если он пропускает число, вернитесь на шаг назад: после четырёх десятков идут пять десятков, то есть после сорока — пятьдесят.

Число 100 здесь участвует в счёте десятками. В его записи три цифры. Ниже правило «слева десятки, справа единицы» будем применять к двузначным числам от 10 до 99.

Соберите 16, затем 18 и 19

Рядом с гирляндой из десяти шаров положите шесть одиночных. Всего получилось 10 + 6 = 16.

Попросите показать две части: где полный десяток, а где отдельные единицы. Если ребёнок говорит «тут один», уточните: «Одна гирлянда или один шар?» Количество групп и количество шаров — разные ответы.

В уроке к шести отдельным шарам добавляют ещё два. Одиночных становится 6 + 2 = 8, а вместе с десятком получается 18. Затем добавляют ещё один: 8 + 1 = 9 отдельных шаров и 19 шаров всего.

Каждый раз полная гирлянда одна. Меняется только количество предметов вне неё:

• 16 — один десяток и шесть отдельных единиц;
• 18 — один десяток и восемь отдельных единиц;
• 19 — один десяток и девять отдельных единиц.

Реплика ребёнку:

«Мы не собирали новый десяток. Посмотри: большая группа осталась той же, а рядом стало больше одиночных шаров».

Если рисуете и схему, и украшенную ёлку, объясните, что это два изображения одного набора. Нельзя складывать шары со схемы с теми же шарами на ёлке и считать их второй раз.

Свяжите количество с местом цифры

Запишите 16. В обычной записи двузначного числа левая цифра показывает количество полных десятков, правая — количество отдельных единиц после их выделения.

В числе 16 единица слева обозначает один десяток, то есть десять. Шестёрка справа — шесть отдельных единиц. Поэтому:

16 = 10 + 6.

Попросите ребёнка объяснить, почему нельзя заменить эту запись на 1 + 6. Такая сумма равна семи: мы потеряли значение десятка, заменив десять шаров одним.

Теперь возьмите 22. Левая двойка обозначает два десятка, то есть двадцать. Правая — две отдельные единицы. Получаем:

22 = 20 + 2 = 2 десятка + 2 единицы.

Цифры одинаковые, но их значения различаются из-за места. Удобно спросить:

«Покажи первую двойку. Сколько она обозначает — два шара или две группы по десять? А что обозначает вторая двойка?»

Такое представление называют разложением на разрядные слагаемые: отдельно записывают значение десятков и значение единиц, затем соединяют их плюсом.

Дайте ребёнку самому разложить числа

В уроке способ последовательно переносят на 33, 55 и 77. Разберите 33 вместе: три десятка — тридцать, три единицы — три; 33 = 30 + 3.

Затем закройте готовые равенства и предложите ребёнку самому разложить 55 и 77. Пусть сначала назовёт десятки и единицы, потом запишет сумму.

Для сверки:

• 55 = 50 + 5: пять десятков имеют значение пятьдесят, ещё пять — отдельные единицы;
• 77 = 70 + 7: семь десятков имеют значение семьдесят, ещё семь — отдельные единицы.

Не принимайте ответ «там две пятёрки» как полное объяснение числа 55. Уточните: «Что обозначает каждая из них?» Нужно различать саму цифру, количество десятков и их значение в единицах.

Что означает ноль в разряде единиц

Возьмите для проверки ещё один пример — 30. Это три полных десятка. Отдельных предметов после выделения этих десятков не осталось, поэтому справа стоит 0.

Различайте два вопроса:

• «Сколько отдельных единиц осталось после выделения десятков в числе 30?» — Ноль.
• «Сколько единичных предметов всего содержат три десятка?» — Тридцать.

Ноль в разряде единиц не означает, что предметов вообще нет. Каждый десяток содержит десять единиц: один десяток — десять, два — двадцать, девять — девяносто.

Не требуйте от ребёнка угадать смысл короткого вопроса «сколько единиц?». Уточняйте, спрашиваете вы об отдельном остатке или обо всех предметах внутри групп.

Как работает помогатор «десятки с десятками»

Дальше в уроке появляется плакат: десятки складывают с десятками, единицы — с единицами; десятки вычитают из десятков, единицы — из единиц.

Это подсказка для разрядного способа вычисления. Сначала выясняем, что обозначает каждая цифра, затем выполняем действие с соответствующими частями числа.

В наших примерах второе число однозначное: 3, 2, 5, 1 или 4. В нём нет полного десятка — это только единицы. Поэтому прибавлять или вычитать будем единицы. Полные десятки первого числа сохраняются в выбранных примерах без перехода через десяток.

Не объясняйте плакат как запрет складывать десятки с единицами вообще. 10 + 6 = 16 — правильная сумма, которую ребёнок только что составлял. Плакат помогает сопоставлять разряды, а не запрещает соединять количества.

Сложение и вычитание в пределах 20

14 + 3: прибавляем три единицы

Попросите подписать в числе 14: 1 десяток и 4 единицы. Число 3 — это три единицы.

Скажите:

«В числе 14 есть десять и ещё четыре. К четырём отдельным единицам прибавим три. Четыре плюс три — семь. Полный десяток мы не меняли».

Получили 1 десяток и 7 единиц, то есть 17. Запись по частям помогает увидеть весь ход: 14 + 3 = 10 + (4 + 3) = 17.

18 − 2: убираем две единицы

В числе 18 — 1 десяток и 8 единиц. Вычитаем две единицы: 8 − 2 = 6. Для этого хватает отдельных единиц, десяток разменивать не нужно.

Остались 1 десяток и 6 единиц. Поэтому 18 − 2 = 16. Если ребёнку трудно вычислить восемь минус два, предложите от восьми сделать два шага назад: семь, шесть. Затем верните результат к полному числу: десять и шесть — шестнадцать.

11 + 5: две единицы в записи означают разное

В числе 11 первая единица обозначает десяток, вторая — одну отдельную единицу. Прибавляем пять единиц именно к одной отдельной: 1 + 5 = 6.

Полный десяток остаётся. Вместе 10 + 6 = 16, поэтому 11 + 5 = 16.

Спросите ребёнка: «К какой единице в записи 11 ты прибавляешь пять и почему?» Важно услышать объяснение про значение цифры, а не только указание «к правой».

16 − 1: самостоятельная попытка

Предложите ребёнку пройти те же шаги без подсказки. Для проверки: в числе 16 один десяток и шесть единиц; 6 − 1 = 5, а десяток сохраняется. Получаем 1 десяток и 5 единиц, то есть 16 − 1 = 15.

В столбце «Десятки» стрелка 1 → 1 означает: до действия был один полный десяток, после действия остался один. Это не ответ «один» ко всему примеру.

Примените тот же способ к числам до 100

Теперь меняется количество десятков, а ход рассуждения остаётся знакомым. По-прежнему работаем с двузначным числом и однозначным, без перехода через десяток.

42 + 3

В числе 42 — 4 десятка и 2 единицы. Четыре десятка имеют значение 40, а не 4. Прибавляем три единицы: 2 + 3 = 5. Четыре полных десятка остаются.

Получаем 40 + 5 = 45. Значит, 42 + 3 = 45.

Реплика ребёнку:

«Мы уже делали это с одним десятком. Сейчас их четыре, но тройка всё равно означает три единицы. Найди, какую часть числа нужно изменить».

69 − 2

В числе 69 — 6 десятков и 9 единиц. Вычитаем две единицы: 9 − 2 = 7. Отдельных единиц достаточно, шесть десятков сохраняются.

Шесть десятков — это 60. Вместе с семью единицами получается 67: 69 − 2 = 67.

75 + 4

Этот пример предложите решить самостоятельно. Для сверки: 7 десятков и 5 единиц, прибавляем четыре единицы; 5 + 4 = 9. Семь десятков имеют значение 70, поэтому 70 + 9 = 79 и 75 + 4 = 79.

Попросите назвать, какие две величины ребёнок сложил на промежуточном шаге. Нужен ответ «пять единиц и четыре единицы».

98 − 2

Сначала ребёнок отмечает 9 десятков и 8 единиц. Затем вычитает единицы: 8 − 2 = 6. Девять десятков сохраняются и имеют значение 90.

Получаем 90 + 6 = 96, значит, 98 − 2 = 96. Спросите: «Почему в ответе слева девятка, а не шестёрка?» Шестёрка обозначает оставшиеся единицы, девятка — количество полных десятков.

Где заканчивается этот простой ход

Посмотрите на все восемь примеров. При сложении сумма единиц каждый раз меньше десяти. При вычитании отдельных единиц хватает, чтобы убрать нужное количество. Поэтому нигде не пришлось создавать новый десяток или разменивать имеющийся.

Если эти условия не выполняются, потребуется дополнительный шаг — переход через десяток. Нельзя переносить короткую подсказку «десятки переписываем» на любое сложение и вычитание. Здесь ребёнок учится узнавать и объяснять именно случаи без такого перехода.

Также не превращайте этот разбор в универсальный алгоритм для сложения двух двузначных чисел: в наших восьми примерах второе число однозначное. Сначала закрепите понятный тип вычислений.

Как помочь при типичных ошибках

Вместо 16 = 10 + 6 пишет 1 + 6. Вернитесь к гирлянде. Одна группа содержит десять шаров. Проверка суммы покажет ошибку: один плюс шесть — семь, а шаров шестнадцать.

В примере 14 + 3 меняет цифру десятков. Попросите назвать значение тройки: три единицы. Покажите четыре отдельных кружка рядом с полным десятком и добавьте к ним ещё три. Считать нужно единицы с единицами.

В числе 11 считает обе единицы одинаковыми величинами. Пусть ребёнок покажет десяток целиком и один отдельный предмет. Цифра одна и та же, но её место и значение различаются.

Вычислил 9 − 2 = 7 и на этом остановился в примере 69 − 2. Спросите: «А куда делись шесть десятков?» Нужно восстановить целое число: шестьдесят и семь — шестьдесят семь.

Говорит, что десятки никогда не меняются. Верните условие: мы решаем выбранные примеры без перехода через десяток. Пусть ребёнок перед вычислением проверит, хватает ли единиц для вычитания или не образуется ли из них новый десяток при сложении.

Смотрит только на цвет в схеме. Повторите разбор одним карандашом, сохранив подписи «десятки» и «единицы». Смысл должен держаться на значениях цифр, а не на раскраске.

Домашняя проверка с ответами

Закройте готовые решения. Предложите ребёнку выполнить задания и объяснить хотя бы по одному примеру из каждой группы.

1. Посчитай десятками от 10 до 100 и обратно до 10.
2. Разложи 33, 55 и 77 на разрядные слагаемые. Объясни, сколько обозначает первая цифра в каждом числе.
3. Реши 14 + 3, 18 − 2, 11 + 5, 16 − 1. Назови десятки и единицы в ответах.
4. Реши 42 + 3, 69 − 2, 75 + 4, 98 − 2. Покажи действие с единицами и объясни, почему полные десятки сохранились.
5. Проверь способ на двух новых примерах: 24 + 3 и 38 − 2. Произнеси весь ход, а не только ответ.

Ответы для проверки.

1. Вперёд: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Обратно: 100, 90, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10.
2. 33 = 30 + 3; 55 = 50 + 5; 77 = 70 + 7. Первые цифры обозначают соответственно три, пять и семь десятков — тридцать, пятьдесят и семьдесят единиц.
3. 14 + 3 = 17: 4 + 3 = 7, один десяток и семь единиц. 18 − 2 = 16: 8 − 2 = 6, один десяток и шесть единиц. 11 + 5 = 16: 1 + 5 = 6, один десяток и шесть единиц. 16 − 1 = 15: 6 − 1 = 5, один десяток и пять единиц.
4. 42 + 3 = 45: 2 + 3 = 5, четыре десятка и пять единиц. 69 − 2 = 67: 9 − 2 = 7, шесть десятков и семь единиц. 75 + 4 = 79: 5 + 4 = 9, семь десятков и девять единиц. 98 − 2 = 96: 8 − 2 = 6, девять десятков и шесть единиц. В сложении не образовался новый десяток, при вычитании хватило отдельных единиц.
5. 24 + 3 = 27: 4 + 3 = 7, два десятка сохраняются. 38 − 2 = 36: 8 − 2 = 6, три десятка сохраняются. Это новые задачи с тем же способом, который использовали в уроке.

Понимание видно, когда ребёнок может показать количество, прочитать запись, объяснить значение цифр и назвать действие с нужной частью числа. Если один шаг пока не получается, вернитесь к нему отдельно: к гирлянде, разложению или паре единиц в вычислении.