Как объяснить ребёнку разложение на простые множители

В этом уроке математики 5 класса сначала продолжают три числовые цепочки. Затем разбирают простые и составные числа, раскладывают числа двумя способами и повторяют общие делители и кратные. Отдельное упражнение содержит шесть текстовых задач на умножение, деление и периметр. Пройдём все части с объяснениями и ответами.

Подготовьте бумагу и карандаш. Большое задание удобно разделить: сначала разобраться с числом 36 и одним способом, затем вернуться к остальным примерам. Не требуйте назвать ответ раньше, чем ребёнок сможет показать, откуда взялся каждый множитель.

Начните с трёх числовых цепочек

Предложите продолжить каждый ряд ещё на три числа. Сначала попросите объяснить правило, затем выполнять вычисления.

Первый ряд: 17, 24, 31, 38, 45, … Сравните соседние числа: 24 − 17 = 7, 31 − 24 = 7. По правилу этого задания каждый раз прибавляем семь. Поэтому после 45 получаем 52, 59, 66.

Второй ряд: 12, 24, 48, 96, 192, … Здесь не прибавляют два, а умножают на два. Проверьте: 12 × 2 = 24, 24 × 2 = 48. Продолжение — 384, 768, 1536. Если ребёнок предлагает прибавлять два, сравните его результат 14 с уже данным вторым числом 24.

Третий ряд: 25, 50, 40, 80, 70, … Одного повторяющегося действия недостаточно. Действия чередуются: умножить на два, вычесть десять, затем снова умножить и вычесть. Получаем 25 × 2 = 50, 50 − 10 = 40, 40 × 2 = 80, 80 − 10 = 70. Следующие три числа — 140, 130, 260.

Скажите ребёнку: «Прежде чем продолжать, проверь своё правило на нескольких уже известных переходах. В третьем ряду важно ещё помнить, какое действие сейчас на очереди». Мы разбираем простые повторяющиеся правила, выбранные в этом упражнении; несколько первых чисел сами по себе не задают единственно возможную последовательность.

Объясните, что значит «простое число»

В этой теме работаем с натуральными числами и положительными делителями. Делитель числа позволяет разделить его без остатка. Например, два — делитель четырёх, потому что 4 : 2 = 2.

Простое число имеет ровно два положительных делителя: единицу и само себя. У числа 2 это 1 и 2; у 5 — 1 и 5; у 13 — 1 и 13. Слово «простое» здесь не означает «лёгкое для вычисления».

У составного числа положительных делителей больше двух. В примере урока у числа 4 есть делители 1, 2 и 4, поэтому оно составное.

Теперь отдельно спросите про единицу. У неё только один положительный делитель — 1. Она не подходит ни под условие «ровно два», ни под условие «больше двух». Поэтому 1 не является ни простым, ни составным числом.

Попросите ребёнка каждый раз назвать делители, а не отвечать по внешнему виду числа. В примерах дальше встретятся простые числа 2, 3, 5 и 7. Простых чисел бесконечно много; эти примеры не являются их полным списком.

Покажите разложение 36 через два множителя 6

Разложить число на простые множители — значит представить его произведением простых чисел. Начнём, как в уроке, с числа 36.

1. Запишем 36 = 6 × 6. Равенство верное, но обе шестёрки ещё составные.
2. Первую шестёрку заменим произведением 2 × 3.
3. Вторую шестёрку тоже заменим произведением 2 × 3.
4. Получим 36 = 2 × 3 × 2 × 3. Все четыре множителя простые — разложение закончено.

Такие замены удобно показывать ветвями: от 36 идут две шестёрки, от каждой шестёрки — двойка и тройка. Следите, чтобы при раскрытии одной ветви не пропала другая. Две одинаковые шестёрки дают две пары множителей, а не одну.

Скажите: «Мы не прибавили новые числа, а заменили каждую шестёрку равным ей произведением». Проверка возвращает исходное число: 2 × 3 × 2 × 3 = 36.

Простое число нельзя дальше разложить на произведение двух натуральных чисел, каждое из которых больше 1. Запись 2 = 1 × 2 верна, но не даёт нового разложения на простые множители: единица простым числом не является.

Разберите все шесть примеров первым способом

Теперь можно выбирать удобную пару множителей и раскрывать составные множители дальше. В уроке разобраны числа 20, 42, 112, 240, 560 и 1500. Сначала предложите решить один пример самостоятельно, затем сверяйте каждую замену.

20. Начинаем с 4 × 5. Пятёрка уже простая, а 4 = 2 × 2. Получаем 20 = 2 × 2 × 5.

42. Запишем 6 × 7. Семёрку оставляем, шестёрку заменяем на 2 × 3. Ответ: 42 = 2 × 3 × 7.

112. Здесь удобно несколько раз раскрывать составной множитель:

112 = 2 × 56 = 2 × 2 × 28 = 2 × 2 × 2 × 14 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7.

Каждая новая двойка появилась при очередном разложении. Убирать повторения нельзя: четыре двойки дают 16, а одна — только 2. Проверка: 16 × 7 = 112.

240. Используем 24 × 10. Заменяем 24 на 2 × 12, а 10 — на 2 × 5. Затем 12 = 3 × 4 и 4 = 2 × 2. В результате получаем 240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Проверка: 16 × 15 = 240.

560. Начальная пара — 56 × 10. Представим 56 как 7 × 8, а 10 как 2 × 5. Теперь 8 = 2 × 2 × 2. Вместе с двойкой из десятки получаются четыре двойки:

560 = 7 × 8 × 2 × 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7.

Проверка: 16 × 35 = 560. Она помогает заметить потерянный повторяющийся множитель.

1500. Начинаем с 15 × 100. Здесь 15 = 3 × 5, а 100 = 10 × 10 = 2 × 5 × 2 × 5. Поэтому 1500 = 3 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5. При желании расположим множители по возрастанию: 1500 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 5.

Порядок множителей можно менять: произведение от перестановки не изменится. Но само количество двоек, троек и пятёрок должно сохраниться. Располагать их по возрастанию удобно, однако это не условие правильности разложения.

Покажите второй способ: деление с вертикальной чертой

Второй способ записывает тот же процесс иначе. Слева находится число, с которым работаем, справа от вертикальной черты — простой делитель. После деления новое число записываем слева следующей строкой.

На примере 20:

Проговорите каждую строку: 20 : 2 = 10; 10 : 2 = 5; 5 : 5 = 1. Внизу слева получилась единица. Простые множители читаем справа: 2, 2, 5. Последняя единица — результат последнего деления, её не добавляют в список простых множителей.

Скажите ребёнку: «Справа записываем, на что делили. Слева ниже — что получилось». Здесь записывается частное, а не остаток от деления: все деления выполняются без остатка.

Сохраните все шаги остальных примеров. В каждой строке ниже первый список показывает числа слева, второй — соответствующие простые делители справа.

• 42: слева 42 → 21 → 7 → 1; справа 2, 3, 7. Значит,42 = 2 × 3 × 7.
• 112: слева 112 → 56 → 28 → 14 → 7 → 1; справа 2, 2, 2, 2, 7. Значит,112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7.
• 240: слева 240 → 120 → 60 → 30 → 15 → 5 → 1; справа 2, 2, 2, 2, 3, 5. Значит,240 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5.
• 560: слева 560 → 280 → 140 → 70 → 35 → 7 → 1; справа 2, 2, 2, 2, 5, 7. Значит,560 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7.
• 1500: слева 1500 → 750 → 375 → 75 → 15 → 5 → 1; справа 2, 2, 5, 5, 3, 5. Это тот же набор множителей, что и 2, 2, 3, 5, 5, 5.

Удобно начинать с небольших простых делителей, но требовать только возрастающего порядка не нужно. Например, в разборе 1500 пятёрки появляются раньше тройки — разложение от этого не становится неправильным.

Научите проверять результат двумя вопросами

Все множители простые? Запись 20 = 4 × 5 сохраняет произведение, но не завершает нужное разложение: четвёрку ещё надо раскрыть.

Возвращается ли исходное число при умножении? Запись 112 = 2 × 7 состоит из простых множителей, но даёт 14. Потеряны три двойки.

Эти проверки нужны одновременно. Даже единица внизу слева не спасёт запись, если справа использовали составной делитель. Например, при 20 : 4 = 5 и 5 : 5 = 1 справа получились бы 4 и 5. Для разложения именно на простые множители четвёрка не подходит.

Предложите ребёнку закончить фразу: «Разложение готово, потому что…». Хороший ответ называет оба основания: все множители простые и произведение равно исходному числу.

Не смешивайте делители и кратные

В повторении урока даны две пары чисел. Сначала ищем все общие положительные делители, затем — общие положительные кратные.

Делитель позволяет разделить данное число без остатка. Кратное получается при умножении данного числа на натуральное число. Например,2 — делитель 14, а 28 — кратное 14. В этих двух вопросах число 14 занимает разное место.

Первая пара:14 и 16

Положительные делители 14: 1, 2, 7, 14. Положительные делители 16: 1, 2, 4, 8, 16. Повторяются только 1 и 2 — это и есть все общие положительные делители этой пары.

Теперь выпишем положительные кратные. В статье заполним и промежуточные места, которые на слайде сокращены многоточием:

• Для 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, …
• Для 16: 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, …

Первое общее число — 112. Проверим:112 : 14 = 8 и 112 : 16 = 7. Это не единственное общее кратное: дальше встретятся и другие, поэтому в записи остаётся многоточие.

Вторая пара:36 и 54

Положительные делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Положительные делители 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.

Все общие положительные делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Здесь их шесть. Не ограничивайте ответ одним самым большим делителем, если требуется назвать все общие.

Положительные кратные 36 начинаются с 36, 72, 108, …, а кратные 54 — с 54, 108, 162, …. Первое общее кратное этой пары — 108. Проверка:108 : 36 = 3, 108 : 54 = 2.

Напомните: «Делители мы выписали все, а ряд положительных кратных продолжается бесконечно». В этом задании рассматриваются положительные кратные; ноль в наши ряды не включаем.

Сохраните шесть текстовых задач из упражнения

Это отдельная часть урока: повторение выбора действия. Она проще основного материала о простых множителях, но полезно проверить, понимает ли ребёнок смысл умножения и деления. Сначала предложите выбрать действие и единицу ответа, затем считать.

1. К каждой из пяти кофт пришили по 7 пуговиц. Есть пять одинаковых групп по семь: 5 × 7 = 35 пуговиц.
2. В стопке 7 монет по 5 рублей. Семь одинаковых сумм по пять рублей: 7 × 5 = 35 рублей. Мы считаем общую стоимость, а не число монет.
3. Провод длиной 42 метра разрезали на части по 7 метров. Нужно узнать количество таких частей: 42 : 7 = 6 кусков.
4. 14 газет разложили поровну в 7 ящиков. Нужно узнать, сколько газет досталось каждому ящику: 14 : 7 = 2 газеты в каждом.
5. 56 туристов рассадили поровну в 7 микроавтобусов. Ищем число туристов в одном микроавтобусе: 56 : 7 = 8 туристов.
6. Сторона квадрата равна 7 см. У квадрата четыре равные стороны, поэтому периметр 7 × 4 = 28 см. Вычисление 7 × 7 дало бы площадь в квадратных сантиметрах, а вопрос задан о длине всей границы.

В двух задачах с делением 42 : 7 и 14 : 7 смысл вопроса различается: в первой узнаём число кусков известной длины, во второй — размер каждой из семи равных групп. Попросите ребёнка назвать, что означает его ответ.

Как помочь при затруднениях

Остановился на 6 × 6. Спросите, простые ли шестёрки. Предложите раскрыть каждую отдельно и сохранить обе ветви.

Не записывает повторяющуюся двойку. Пусть после каждого деления поставит отдельную двойку справа, затем сосчитает все записи. В 112 их четыре, в 1500 — две.

Добавляет 1 в произведение простых множителей. Верните определение: у 1 один положительный делитель, поэтому она не простая. Единица внизу записи сообщает о завершении делений.

Считает ответ неправильным из-за другого порядка. Проверьте количество каждого простого множителя и общее произведение. Порядок можно изменить, повторения удалять нельзя.

Путает делители с кратными. Предложите две фразы: «На что можно разделить 14?» и «Какие числа получаются при умножении 14 на 1, 2, 3…?» Затем вернитесь к двум разным спискам.

В текстовой задаче называет только число. Попросите добавить единицу и смысл: шесть кусков, две газеты в каждом ящике, восемь туристов в каждом микроавтобусе. Так легче увидеть, соответствует ли действие вопросу.

Домашняя проверка с ответами

1. Продолжите три цепочки. Объясните правило и запишите три следующих числа после 45, 192 и 70 в соответствующих рядах.

Ответ: 52, 59, 66;384, 768, 1536;140, 130, 260. В последнем ряду действия чередуются: умножение на 2, вычитание 10.

2. Сравните 2, 4 и 1. Назовите положительные делители каждого и определите, к какой группе относится число.

Ответ: у 2 делители 1 и 2 — число простое; у 4 делители 1, 2 и 4 — составное; у 1 только делитель 1 — ни простое, ни составное.

3. Разложите 36 и 112 и объясните, почему остановились. Для 112 покажите также числа, последовательно записанные слева от вертикальной черты.

Ответ: 36 = 2 × 3 × 2 × 3;112 = 2 × 2 × 2 × 2 × 7. Слева для 112:112 → 56 → 28 → 14 → 7 → 1; справа четыре двойки и семёрка. Все множители простые, произведения совпадают с исходными числами.

4. Найдите ошибку в домашнем примере:560 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7.

Ответ: справа получается 280. Потеряна одна двойка. Правильно:560 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7. Это упражнение на проверку множителей, а не основание удалять одинаковые числа.

5. Вернитесь к двум парам чисел. Назовите все общие положительные делители 14 и 16, затем 36 и 54. Назовите первое общее положительное кратное каждой пары.

Ответ: 1 и 2;1, 2, 3, 6, 9, 18. Первые общие положительные кратные —112 и 108 соответственно.

6. Решите шесть текстовых задач. Проверьте не только вычисление, но и единицу ответа.

Ответ: 35 пуговиц;35 рублей;6 кусков;2 газеты в каждом ящике;8 туристов в каждом микроавтобусе;28 см периметра. Полные действия и их смысл приведены в разделе с задачами.

Если ребёнок верно выбирает готовые ответы, отдельно попросите его записать разложение и объяснить один пример своими словами. Небольшой тренажёр не заменяет проверку самостоятельного вычисления.