Почему нельзя просто сложить верхние и нижние числа в записи 1/2 + 1/3? Половинки и трети — доли разного размера. Сначала нужно выразить их одинаковыми долями одного целого. Половина — это три шестых, треть — две шестых. Вместе получим пять шестых: 1/2 + 1/3 = 5/6.

Так работает сложение любых обыкновенных дробей. Вычитание начинается с такого же шага. Разберём общий знаменатель, дополнительные множители и проверку результата. Здесь рассматриваем неотрицательные дроби; при вычитании уменьшаемая дробь не меньше вычитаемой.

Зачем нужен общий знаменатель

Знаменатель сообщает, на сколько равных долей разделено целое. При одинаковых знаменателях размеры долей одинаковы. Тогда числители можно складывать или вычитать, а знаменатель сохранять: 3/8 + 2/8 = 5/8, 7/8 − 2/8 = 5/8.

Чтобы перейти к равным долям, используем основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значения. Например, 3/4 = 9/12, потому что оба числа умножили на 3. Нельзя умножить только знаменатель: 3/12 — другая дробь.

Общий знаменатель должен делиться на каждый исходный знаменатель. Для 4 и 6 подходят 12, 24, 36. Вычисления удобнее с наименьшим из них — 12. Но другой подходящий общий знаменатель тоже даст верный результат после сокращения. Удобство не нужно путать с обязательным условием.

Три четверти превращаются в девять двенадцатых, пять шестых — в десять двенадцатых. Складываем числители: 9 + 10 = 19, знаменатель остаётся 12.
Откройте схему отдельно, чтобы рассмотреть детали.

Складываем 3/4 и 5/6

Сначала найдём общий знаменатель. Кратные четырём: 4, 8, 12, 16. Кратные шести: 6, 12, 18. Первое общее число — 12.

Теперь определяем дополнительные множители: 12 : 4 = 3 для первой дроби и 12 : 6 = 2 для второй. Умножаем на них и числители, и знаменатели:

3/4 = (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12; 5/6 = (5 × 2)/(6 × 2) = 10/12.

После этого складываем одинаковые доли: 9/12 + 10/12 = 19/12. Ответ больше единицы, и это нормально: два слагаемых вместе могут превышать целое. Можно выделить целую часть: 19/12 = 1 7/12. Числа 19 и 12 не имеют общего делителя больше 1, поэтому сокращать больше нечего.

Проверка по смыслу: 3/4 больше половины и 5/6 больше половины. Их сумма должна быть больше единицы. Полученный ответ этому соответствует.

Вычитаем 5/6 и 3/4

Общий знаменатель снова равен 12, но порядок числителей сохраняем: 5/6 = 10/12, 3/4 = 9/12. Получаем 5/6 − 3/4 = 10/12 − 9/12 = 1/12.

Знаменатель не вычитаем. Он обозначает размер доли, который после приведения остался одинаковым. Из десяти двенадцатых долей убрали девять двенадцатых; осталась одна двенадцатая.

Проверим сложением: 1/12 + 3/4 = 1/12 + 9/12 = 10/12 = 5/6. Возвращение к исходному уменьшаемому — удобная проверка вычитания.

Когда один знаменатель делится на другой

Рассмотрим 1/4 + 3/24. Можно взять знаменатель 24: 6/24 + 3/24 = 9/24 = 3/8. Но исходную дробь 3/24 удобно заранее сократить до 1/8. Тогда сразу получим 2/8 + 1/8 = 3/8.

Оба пути верны. Предварительное сокращение уменьшает числа и помогает избежать арифметических ошибок. Если один знаменатель уже кратен другому, необязательно перемножать их: для 4 и 8 достаточно знаменателя 8.

Если общего небольшого числа сразу не видно, произведение знаменателей всегда подойдёт. Например, для 7 и 5 берём 35: 3/7 + 4/5 = 15/35 + 28/35 = 43/35. Для вычитания 7/10 − 4/11 подойдёт 110: 77/110 − 40/110 = 37/110.

Алгоритм, который работает в обоих действиях

  1. Проверь запись дробей и порядок вычитания.
  2. Если удобно, сократи исходные дроби.
  3. Выбери общий знаменатель.
  4. Раздели его на каждый исходный знаменатель и найди дополнительные множители.
  5. Умножь оба числа каждой дроби на её множитель.
  6. Сложи или вычти числители; общий знаменатель оставь.
  7. Сократи ответ, а при необходимости выдели целую часть.
  8. Оцени результат и проверь обратным действием.

В задаче о длине, площади или массе сначала убедись, что дроби относятся к одному целому и одинаковым единицам. Половину метра и треть метра можно сложить сразу. Половину одной ленты и треть другой нельзя назвать пятью шестыми одной ленты, пока не установлены их длины.

Частые ошибки

Сложить знаменатели. Запись 1/2 + 1/3 = 2/5 неверна: 2/5 меньше половины, хотя к половине прибавили положительное число.

Изменить только нижнее число. При замене 3/4 на дробь со знаменателем 12 числитель тоже нужно умножить на 3. Получится 9/12, а не 3/12.

Потерять порядок при вычитании. Сначала преобразуй обе дроби, затем вычитай второй числитель из первого.

Считать неправильную дробь ошибкой. Ответ 19/12 допустим. Смешанное число — ещё одна форма записи того же количества.

Проверь себя

  1. 1/2 + 1/3.
  2. 5/6 − 3/4.
  3. 1/4 + 3/24.
  4. 3/7 + 4/5.
  5. Чем проверить 7/10 − 4/11 = 37/110?

Ответы. 5/6; 1/12; 3/8; 43/35, или 1 8/35. В последнем задании сложи 37/110 + 4/11: получится 37/110 + 40/110 = 77/110 = 7/10.