Числа 2,78 и 2,765 выглядят похоже. У второго больше цифр после запятой, но это не делает его большим. Запишем первое как 2,780 и сравним одинаковые разряды: 780 тысячных больше 765 тысячных. Поэтому 2,78 > 2,765.

Чтобы уверенно читать и сравнивать десятичные дроби, нужно понимать, какой вес имеет каждая цифра. Начнём с десятых, сотых и тысячных, а затем разберём нули и порядок сравнения. Здесь речь о неотрицательных конечных десятичных дробях.

От обыкновенной дроби к десятичной

Одну десятую записывают 1/10 = 0,1. Семь десятых — 7/10 = 0,7. Запятая отделяет целую часть числа от дробной. В 0,7 целых единиц нет, поэтому перед запятой стоит ноль.

Для сотых нужны две цифры после запятой: 17/100 = 0,17. Для тысячных — три: 13/1000 = 0,013. Ноль перед цифрами 13 сохраняет разряд: 0,013 — тринадцать тысячных, а 0,13 — тринадцать сотых. Это разные числа.

Алгоритм для дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее: запиши целую часть, поставь запятую, отведи после неё столько мест, сколько нулей в знаменателе. Заполни места цифрами числителя дробной части справа налево, а незаполненные места слева — нулями.

Например, 2 17/1000 = 2,017. Если исходная дробь неправильная, сначала можно выделить целую часть: 756/100 = 7 56/100 = 7,56. Не каждую обыкновенную дробь можно получить простой заменой дробной черты запятой. Запись 5/6 не означает 5,6.

Таблица числа 2,780: две единицы, семь десятых, восемь сотых, ноль тысячных. Сравнение с 2,765 решается в разряде сотых: 8 больше 6.
Откройте схему отдельно, чтобы рассмотреть детали.

Разряды дробной части

Слева от запятой идут знакомые единицы, десятки, сотни. Справа первые три разряда — десятые, сотые, тысячные. Каждый следующий справа разряд в десять раз мельче предыдущего.

Число 7,31 содержит семь целых единиц, три десятых и одну сотую: 7,31 = 7 + 3/10 + 1/100. Число 13,253 читаем «тринадцать целых двести пятьдесят три тысячных». При этом цифра 2 занимает разряд десятых, 5 — сотых, 3 — тысячных.

Для чтения назови целую часть, затем число, записанное после запятой, и название последнего разряда. Например, 0,27 — «ноль целых двадцать семь сотых», 23,171 — «двадцать три целых сто семьдесят одна тысячная». При разговоре можно сказать «два запятая семь восемь», но понимание разрядов помогает записывать число без потери нулей.

Какие нули можно убрать

Числа 8,9, 8,90 и 8,900 равны. Девять десятых — это девяносто сотых или девятьсот тысячных. Мы изменили разбиение на доли, а не количество.

Поэтому справа в конце дробной части можно приписывать или убирать нули: 1,180 = 1,18, 5,4 = 5,40 = 5,400. Это правило касается именно конца дробной части. В 5,004 нельзя убрать нули перед четвёркой: получится 5,4, то есть другое число. Нельзя также отбросить ноль в целой части числа 50 и получить то же количество.

Для проверки попробуй прочитать разряд ненулевой цифры. В 5,004 четвёрка обозначает тысячные, в 5,4 — десятые. Меняя место цифры, мы меняем её значение.

Сравниваем по шагам

  1. Сравни целые части. Если они разные, больше число с большей целой частью.
  2. При равных целых частях допиши справа нули, чтобы дробные части содержали одинаковое количество знаков.
  3. Сравнивай цифры слева направо: десятые, сотые, тысячные.
  4. Первая пара разных цифр определяет ответ.
  5. Если все соответствующие цифры совпали, числа равны.

Вернёмся к 2,78 и 2,765. Целые части равны 2. Дописываем справа ноль: 2,780 и 2,765. Десятые одинаковы — 7. В сотых 8 больше 6. Дальнейшие цифры уже не меняют вывода: 2,780 > 2,765.

Для 3,456 и 2,999 достаточно первого шага: три целых больше двух. Не нужно сначала сравнивать 456 и 999. А 0,176 и 0,1761 превратим в 0,1760 и 0,1761: различие только в десятитысячных, поэтому первое число меньше.

Между двумя десятичными числами

Между 0,4 и 0,5 есть другие числа: например, 0,41, 0,45 и 0,49. Достаточно представить границы как 0,40 и 0,50. Между 2,84 и 2,85 можно взять 2,841 или 2,845: сравни их с границами 2,840 и 2,850.

Приписывание нулей не передвигает сами границы, а помогает увидеть более мелкие разряды. На числовой прямой точка с большей координатой расположена правее: 2,845 правее 2,84. При строгом неравенстве 2,84 < x < 2,85 сами границы в ответ не входят.

Частые ошибки

Сравнивать дробные части как отдельные натуральные числа. В 0,8 и 0,75 восемь десятых больше семидесяти пяти сотых: сравни 0,80 и 0,75.

Считать более длинную запись большим числом. 8,900 равно 8,9. Количество знаков само по себе не определяет величину.

Убирать любой ноль. В 0,013 ноль после запятой нужен. Можно убрать только конечные нули справа в дробной части.

Проверь себя

  1. Запиши 7/10 десятичной дробью.
  2. Запиши 13/1000.
  3. Сравни 2,78 и 2,765.
  4. Равны ли 1,180 и 1,18?
  5. Назови число строго между 2,84 и 2,85.

Ответы. 0,7; 0,013; 2,78 > 2,765; равны. Например, 2,845. Проверь его сравнением с 2,840 и 2,850.