Порядок действий в выражениях: скобки, умножение и деление

Математика, 4 класс. Если в примере несколько знаков, нельзя просто идти по строке и выполнять всё подряд. Сначала нужно определить, какие действия главнее. Разберём правило, научимся проверять себя и покажем способ упростить запись длинного решения.

Почему порядок действий меняет ответ

Сравним два выражения: 2 + 3 × 4 и (2 + 3) × 4. Числа и знаки одинаковые, но скобки меняют смысл.

В первом случае к двум прибавляют произведение трёх и четырёх: 2 + 12 = 14. Во втором четыре раза берут сумму двух и трёх: 5 × 4 = 20. Получились разные ответы, потому что выполнены разные действия. Порядок действий нужен, чтобы одну запись все понимали одинаково.

Числа, соединённые знаками действий, образуют числовое выражение. Число, которое получается после вычислений, — его значение. Важно различать запись задачи и результат: 50 + 5 × 8 — выражение, а 90 — его значение.

Три ступени порядка действий

1. Выполни действия в скобках.
2. Выполни умножение и деление слева направо.
3. Выполни сложение и вычитание слева направо.

Внутри скобок действует то же правило. Например, в (7 × 8 + 4) сначала считаем произведение 7 × 8 = 56, затем прибавляем четыре: 56 + 4 = 60. Скобки выделяют отдельную часть выражения, но не отменяют порядок внутри неё.

Умножение и деление равноправны. Нельзя запоминать правило как «сначала всё умножить, потом всё разделить». В примере 24 ÷ 3 × 2 первым выполняется деление, потому что оно расположено левее:

24 ÷ 3 × 2 = 8 × 2 = 16.

Сложение и вычитание тоже равноправны. Поэтому:

36 − 12 + 5 = 24 + 5 = 29.

Если сначала сложить 12 и 5, получится другой пример: 36 − (12 + 5). В исходной записи таких скобок нет.

Как решать пример по шагам

Возьмём выражение 48 ÷ (6 + 2) × 3.

Шаг 1. Находим скобки. В них одно действие: 6 + 2 = 8. Переписываем всё выражение: 48 ÷ 8 × 3. Знаки за скобками сохраняем.

Шаг 2. Смотрим на оставшиеся действия. Деление и умножение имеют одинаковую важность, поэтому идём слева направо: 48 ÷ 8 = 6. Теперь выражение выглядит так: 6 × 3.

Шаг 3. Заканчиваем вычисление. 6 × 3 = 18.

Ответ — 18. Ошибка «сначала умножить 8 на 3» дала бы 2, но изменила бы порядок действий. После исчезновения скобок правило продолжает работать.

Рассмотрим ещё один пример: 18 − 6 ÷ 3 + 2 × 4. Скобок нет. Сначала вычисляем деление 6 ÷ 3 = 2 и умножение 2 × 4 = 8. Получаем 18 − 2 + 8. Теперь слева направо: 18 − 2 = 16, 16 + 8 = 24.

Удобно каждый раз переписывать выражение целиком. Так меньше риск потерять число, знак или результат уже выполненного действия.

Длинное выражение можно разделить на блоки

В уроках Ёшколы используется полезный приём: сначала вычислить отдельные части длинного выражения, а потом соединить результаты. Возьмём пример:

6 × (8 − 3) + 24 ÷ (2 + 4) − 5 × 2.

На верхнем уровне записи три блока: 6 × (8 − 3), 24 ÷ (2 + 4) и 5 × 2. Между ними стоят знаки + и −.

Осталось 30 + 4 − 10 = 24.

Делить на блоки нужно по плюсам и минусам за скобками. Минус внутри (8 − 3) не разделяет весь пример на две части: скобки связывают числа. Знак перед блоком обязательно сохраняется. Приём помогает организовать вычисления, а не разрешает переставлять или менять действия.

Если блоки пока мешают, решай обычным способом, записывая по одному шагу. Правильный ответ не зависит от того, насколько коротко оформлено решение.

Как порядок действий помогает решать задачи

В кошельке лежат 50 рублей и восемь монет по 5 рублей. Сколько денег всего? Сначала находим стоимость монет: 5 × 8 = 40 рублей. Затем прибавляем 50: 50 + 40 = 90 рублей.

Решение можно записать одним выражением: 50 + 5 × 8 = 90. Скобки здесь не нужны: умножение и так выполнится первым. Ответ: в кошельке 90 рублей.

Ещё одна задача из урока: в двух одинаковых вагонах 120 мест. Сколько мест в семи таких вагонах? Сначала узнаём количество мест в одном вагоне: 120 ÷ 2 = 60. Затем в семи: 60 × 7 = 420. Короткая запись: 120 ÷ 2 × 7 = 420.

Здесь деление должно предшествовать умножению и по смыслу задачи, и по правилу вычисления. Ответ — 420 мест. Если сомневаешься, объясни словами каждое действие: что именно ты сейчас находишь?

Четыре частые ошибки

Считать всё слева направо. В 10 + 2 × 3 сначала умножаем. Получается 16, а не 36. Слева направо идут действия одной ступени.

Всегда ставить умножение перед делением. В 18 ÷ 3 × 2 первым стоит деление. Правильный результат — 12.

Считать сложение внутри скобок раньше умножения. В (4 + 2 × 3) сначала получаем 2 × 3 = 6, затем 4 + 6 = 10.

Терять знак при переписывании. В 20 − 3 × 4 произведение равно 12, но оставшаяся запись — 20 − 12, а не 20 + 12. Перед переходом к следующему шагу сравни строку с исходным примером.

Проверь себя

Сначала назови первое действие, затем найди значение выражения.

1. 7 + 3 × 4
2. (7 + 3) × 4
3. 32 ÷ 4 × 2
4. 25 − 8 + 3
5. 40 ÷ (2 + 3 × 2)
6. В трёх одинаковых коробках 24 карандаша. Сколько карандашей в пяти таких коробках? Запиши решение одним выражением.

Ответы и объяснения.

1. Сначала 3 × 4 = 12, затем 7 + 12 = 19.
2. Сначала скобки: 7 + 3 = 10, затем 10 × 4 = 40.
3. Деление слева: 32 ÷ 4 = 8, затем 8 × 2 = 16.
4. Вычитание слева: 25 − 8 = 17, затем 17 + 3 = 20.
5. В скобках сначала 3 × 2 = 6, затем 2 + 6 = 8; 40 ÷ 8 = 5.
6. 24 ÷ 3 × 5 = 40 карандашей. Сначала находим количество в одной коробке.

Если ответ не совпал, найди первый шаг, на котором изменился порядок. Пересчитай с этого места и объясни правило своими словами.