В комнате решили заменить плинтус и покрыть пол плиткой. Для плинтуса нужно узнать длину границы пола, а для плитки — размер всей поверхности. Комната одна, но задачи разные. В первом случае ищем периметр, во втором — площадь.
Разберём прямоугольник: фигуру с четырьмя прямыми углами и равными противоположными сторонами. Научимся выбирать нужную формулу, правильно подписывать единицы и находить сторону по известной площади.
Периметр: идём по границе
Пусть длина комнаты 5 метров, ширина 3 метра. Представь, что обходишь
пол по краю. Пройдёшь 5 метров, затем 3, потом ещё 5 и ещё 3.
Весь путь по границе: 5 + 3 + 5 + 3 = 16 метров.
Периметр — сумма длин всех сторон фигуры. Его обозначают
латинской буквой P. Если длину прямоугольника назвать a,
а ширину b, получится:
P = a + b + a + b = 2 × (a + b).
Сначала складываем длину и ширину, затем удваиваем сумму, потому что
каждая из этих сторон встречается дважды. Для комнаты:
P = 2 × (5 + 3) = 16 м.
Периметр измеряют единицами длины: сантиметрами, метрами и другими. Для нашей упрощённой задачи потребуется 16 метров плинтуса, если не учитывать дверные проёмы, подрезку и запас. Это математическая модель, а не смета ремонта.
Площадь: покрываем поверхность квадратами
Теперь нужно покрыть плиткой весь пол. Разделим его на квадраты со стороной
1 метр. В одном ряду поместится пять квадратов, а рядов будет три.
Всего 5 × 3 = 15 квадратов.
Площадь — величина, которая показывает размер плоской области. Её обозначают латинской буквой S. Площадь прямоугольника находится умножением длины на ширину:
S = a × b.
Для комнаты получаем S = 5 × 3 = 15 м². Запись м² читается
«квадратные метры». Один квадратный метр — площадь квадрата со стороной
1 метр.
Здесь важно, что маленькие квадраты одинаковые. Если один и тот же рисунок разбить на крупные и мелкие клетки, количество клеток получится разным. Сравнивать площади по их числу можно только при одинаковом размере клетки. Поэтому и нужны общие единицы измерения.
Почему сантиметры и квадратные сантиметры различаются
Отрезок длиной 1 см и квадрат площадью 1 см² — разные объекты измерения. Линейкой измеряют длину стороны. Квадратами измеряют поверхность.
У прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см:
- периметр
P = 2 × (6 + 4) = 20 см; - площадь
S = 6 × 4 = 24 см².
Числа 20 и 24 отвечают на разные вопросы. Нельзя сказать, что площадь больше периметра, только сравнив их числа: у величин разные единицы. Также нельзя подписать площадь как 24 см или периметр как 20 см².
Перед вычислением стороны нужно выразить в одной единице длины.
Если длина 2 дм, а ширина 5 см, сначала заменим 2 дм на 20 см.
Тогда S = 20 × 5 = 100 см², а не 10 см².
Одинаковая площадь не означает одинаковый периметр
Возьмём два прямоугольника: 8 см на 3 см и 6 см на 4 см. Их площади равны:
S₁ = 8 × 3 = 24 см², S₂ = 6 × 4 = 24 см².
А периметры различаются:
P₁ = 2 × (8 + 3) = 22 см, P₂ = 2 × (6 + 4) = 20 см.
Обе фигуры можно составить из 24 одинаковых квадратных сантиметров, но длина их границы будет разной. Поэтому по одной площади нельзя однозначно узнать периметр прямоугольника.
Рисунок «на глаз» здесь ненадёжен. Более вытянутая фигура может казаться больше, хотя её площадь совпадает с площадью другой. Сравнение должно опираться на вычисления и одинаковые единицы.
Как найти сторону по площади
Формула площади связывает три величины: S = a × b. Если известны
площадь и одна сторона, вторую находим делением:
a = S : b, b = S : a.
Например, площадь прямоугольника равна 24 см², ширина — 4 см.
Какова длина? Сколько квадратов в каждом ряду, если всего их 24,
а рядов четыре? 24 : 4 = 6. Значит, длина 6 см.
Проверим: 6 × 4 = 24 см². В ответе про сторону пишем сантиметры,
потому что нашли длину, а не площадь.
Для квадрата длина и ширина равны. Поэтому его площадь можно найти
как a × a, а периметр — как 4 × a. При стороне 3 см получаем
площадь 9 см² и периметр 12 см. Одна сторона не отменяет различия вопросов.
Помогатор: выбираем формулу
- Прочитай, что требуется найти: границу, поверхность или сторону.
- Подпиши на рисунке известные длину и ширину.
- Приведи длины к одной единице.
- Выбери формулу: для периметра сложение сторон, для площади произведение.
- Вычисли и проверь единицы в ответе.
Если ищется неизвестная сторона, начни с той формулы, где она участвует. Не подставляй числа в первое знакомое выражение. Вопрос задачи важнее того, что числа выглядят удобными для умножения.
Типичные ошибки
Умножить стороны для периметра. Произведение показывает число единичных квадратов внутри, а не длину границы.
Сложить только длину и ширину. Это половина периметра прямоугольника. Оставшиеся две стороны тоже нужно учесть.
Потерять квадрат в единице площади. Запись 18 см² сообщает, что измерена поверхность; 18 см означает длину.
Смешать сантиметры и дециметры. Сначала переведи величины, затем вычисляй. Нельзя перемножить 2 и 5, забыв про разные единицы.
Проверь себя
- Найди периметр прямоугольника со сторонами 8 см и 2 см.
- Найди его площадь.
- Площадь другого прямоугольника 35 см², одна сторона 7 см. Найди вторую.
- У квадрата сторона 4 см. Чему равны площадь и периметр?
- Обязательно ли у фигур с одинаковой площадью одинаковые периметры?
Ответы. 20 см; 16 см²; 5 см. У квадрата площадь 16 см², периметр 16 см: численные значения совпали, но величины различаются. Ответ на последний вопрос — нет; пример дают прямоугольники 8 × 3 и 6 × 4.