Как объяснить ребёнку функцию, область определения и область значений

В первом уроке алгебры за 9 класс эти идеи разбираются через координаты, графики, дробные формулы и рисунок бегущего человека. Ниже — последовательность объяснения для родителей, все разобранные примеры и пять дополнительных вычислений из упражнений урока. Подготовьте тетрадь в клетку, линейку и два цветных карандаша. Материал удобно разделить на несколько занятий: сначала смысл функции и график, затем скобки и формулы, в конце — рисунок и самостоятельная проверка.

Начните с порядка координат

Попросите ребёнка показать горизонтальную ось x и вертикальную ось y. Первая координата точки сообщает положение по x, вторая — по y. Начало координат обозначается нулём. В этой статье координаты разделяются точкой с запятой: (x; y).

Скажите: «Сначала найди положение по горизонтали, затем посмотри, на какой высоте находится точка». При построении можно пройти от начала координат по горизонтали, а затем по вертикали. При чтении готовой точки удобно опустить от неё перпендикуляры на оси. Не позволяйте внешнему положению подписи A или B заменять положение самой отмеченной точки.

В разминке урока получаются такие ответы:

Горизонтальная координата называется абсциссой, вертикальная — ординатой. Сначала закрепите порядок x и y на точках, а затем добавьте названия. Иначе два новых термина могут скрыть простое действие, которое ребёнок уже понимает.

Для проверки назовите C(−4; −3) и попросите объяснить оба минуса. Первый отправляет влево, второй — вниз. Затем предложите сравнить C с точкой (−3; −4): это другое место, хотя использованы те же два числа.

Объясните главное условие функции

Функция задаёт соответствие, при котором каждому допустимому значению x соответствует единственное значение y. Слово «единственное» здесь решающее. Выбрали разрешённый аргумент — получили один определённый результат.

Готовая реплика ребёнку: «У нас есть правило. Мы подставляем в него допустимое число x и получаем число y. Для одного выбранного x правило не должно одновременно выдавать два разных ответа».

Запись y = f(x) читают как «игрек равен эф от икс». Буква f обозначает функцию, x — её аргумент, а f(x) — значение при этом аргументе. Скобки показывают, что подставили в функцию; это не произведение f и x. Например, f(1) означает значение функции при x = 1.

В уроке используется образ дротика и мишени: выбираем действие, затем получаем результат. Оставьте эту картинку как напоминание о ролях: x — независимая переменная, y — зависимая. Математическое правило при этом должно однозначно связывать выбранный аргумент с результатом. Обсуждать технику броска для понимания определения не требуется.

Спросите: «Могут ли два разных x дать одинаковый y?» Да. Запрет относится к двум разным результатам для одного и того же x. Например, в правиле f(x) = 3x² − 5 числа 1 и −1 дают −2. Это дополнительная домашняя проверка по формуле урока: одинаковые результаты не мешают соответствию быть функцией.

Свяжите формулу с точками графика

График функции состоит из всех точек, у которых первая координата — допустимый аргумент x, а вторая — соответствующее значение f(x). Поэтому точка на графике записывается как (x; f(x)).

Скажите: «Формула и график рассказывают об одном соответствии двумя способами. Формула помогает вычислить результат. График показывает подходящие пары чисел как точки на плоскости». Если f(1) = −2, соответствующая точка имеет координаты (1; −2).

Не требуйте сначала запомнить длинное определение графика. Предложите показать в записи (1; −2), что подставляли и что получили. Затем попросите найти, где такая точка будет расположена. Так определение связывается с уже знакомым порядком координат.

Покажите две проекции одного графика

Область определения D(f) — все значения x, для которых функция задана. Область значений E(f) — все значения y, которые она действительно принимает. Эти вопросы задаются отдельно: «Что можно подставить?» и «Что может получиться?».

На первом графике урока изображена конечная V-образная ломаная. Её крайние по горизонтали точки имеют x = −10 и x = 11. Нижняя вершина находится на уровне y = −5, наибольшая достигнутая высота — y = 12.

Сначала попросите ребёнка мысленно спроецировать весь график на горизонтальную ось. Можно провести линейкой сверху вниз: какие положения по x встречаются хотя бы у одной точки графика? Здесь получаются все числа от −10 до 11, включая границы. Поэтому D(f) = [−10; 11].

Затем смените направление: «Теперь смотрим, какие высоты есть у точек». Проекция на вертикальную ось заполняет промежуток от −5 до 12, тоже с границами. Поэтому E(f) = [−5; 12]. Важно не назвать областью значений все числа, напечатанные вдоль оси y: нужны именно достигнутые уровни графика.

Дайте ребёнку два карандаша: одним выделять x, другим y. Пусть он каждый раз проговаривает название оси перед ответом. Для этой ломаной между крайними значениями нет пропусков. Вообще проверяют всю проекцию: если график состоит из отдельных частей или содержит разрывы, одного поиска самого левого и самого правого места может оказаться недостаточно.

Разберите подстановку без пропуска действий

В первом примере нужно найти значение f(x) = 3x² − 5 при x = 1. Предложите ребёнку заменить x числом 1 и только после этого считать:

f(1) = 3 · 1² − 5 = 3 · 1 − 5 = −2.

Сначала возводим 1 в квадрат, затем умножаем на 3, после этого вычитаем 5. Ответ −2 — значение функции. Число 1 — значение аргумента. Попросите назвать обе роли: правильный расчёт ещё не гарантирует, что ребёнок различает их.

Во втором примере дана функция f(x) = 1,7x + 10 при x = 0. Получается:

f(0) = 1,7 · 0 + 10 = 0 + 10 = 10.

Нулевой аргумент не означает, что результат обязательно равен нулю. Обнулится произведение 1,7 · 0, но слагаемое 10 останется. Если ребёнок отвечает «ноль», попросите показать, что произошло с каждым действием, а не просто повторить весь пример ещё раз.

Полезный порядок записи: формула, заданный аргумент, строка с подстановкой, вычисление, ответ. Пока этот порядок не стал понятным, не подменяйте его устным угадыванием результата.

Объясните пустые точки и скобки

Закрашенная точка входит в график, пустой кружок обозначает исключённую точку. В записи промежутка включённой границе соответствует квадратная скобка, исключённой — круглая. Левую и правую границы проверяют независимо.

На графике A из урока левый конец имеет координаты (−9; 5) и включён. Правый конец (4; 2) исключён. Поэтому x = −9 разрешён, а x = 4 — нет: D(f) = [−9; 4). Внутри этого промежутка график задан для всех x.

Теперь рассмотрите высоты. Самая низкая достигнутая — −3, самая высокая — 5. Обе встречаются на графике, все промежуточные уровни тоже есть. Значит, E(f) = [−3; 5].

Задайте вопрос: «Справа пустая точка на высоте 2. Нужно ли исключить y = 2 из области значений?» Нет. Этот уровень достигается и на другой части кривой. Для области значений проверяют весь график: отсутствие одной конкретной точки ещё не означает отсутствия такого результата вообще.

На графике Б левый конец (−10; 7) исключён, правый (9; −6) включён. Отсюда D(f) = (−10; 9]. Нижнее значение −6 достигается в правом конце. До высоты 7 график подходит у левого конца, но сама точка на этой высоте исключена, и других точек с y = 7 здесь нет. Поэтому E(f) = [−6; 7).

Попросите ребёнка объяснить каждую из четырёх скобок, указывая на соответствующее место рисунка. Если он выбирает скобку по памяти о соседнем примере, верните его к вопросу: «Есть ли такая координата у какой-нибудь включённой точки этого графика?».

Найдите запрещённый аргумент в дроби

Для формулы область определения ищут через допустимость действий. В двух дробных примерах урока ограничение связано со знаменателем: на ноль делить нельзя.

Первая функция: f(x) = (x + 7)/(5 − x). Попросите ребёнка сначала показать знаменатель — выражение под дробной чертой. Это 5 − x. Оно не должно обращаться в ноль:

5 − x ≠ 0, поэтому x ≠ 5.

Можно найти запрещённое число через простое уравнение 5 − x = 0: его решение x = 5 затем исключаем. Проверка непосредственной подстановкой даёт 5 − 5 = 0. Значение функции при таком аргументе вычислить нельзя.

Все остальные действительные x для этой формулы подходят. На числовой прямой это две части: левее 5 и правее 5, сама точка не включена. Записываем:

D(f) = (−∞; 5) ∪ (5; +∞).

Знак ∪ означает объединение: берём числа из первого или из второго промежутка. У бесконечностей всегда круглые скобки: бесконечность не является отдельным числом, которое можно включить как конечную границу.

Здесь полезно проверить ещё одно возможное заблуждение. Ноль в числителе разрешён, если знаменатель не равен нулю. Дополнительный пример по той же формуле: при x = −7 получаем 0/12 = 0. Поэтому −7 входит в область определения. Запрет связан с нулевым знаменателем, а не с любым нулём в записи.

Вторая функция: f(x) = (x² + 4x − 3)/(x + 2). Знаменатель x + 2 обращается в ноль при x = −2. Значит, условие допустимости и ответ такие:

x + 2 ≠ 0; x ≠ −2.

D(f) = (−∞; −2) ∪ (−2; +∞).

Не нужно решать уравнение x² + 4x − 3 = 0, чтобы найти эту область определения. Числитель — многочлен, он определён при любом действительном x; дополнительный запрет в данном примере создаёт именно знаменатель. Попросите ребёнка сравнить два задания: правило одно, а исключаемое число меняется вместе со знаменателем.

Нарисуйте бегущего человека по координатам

В конце урока координаты превращаются в рисунок. Это одновременно повторение порядка x и y и проверка определения функции. Возьмите достаточно большую координатную сетку; на обеих осях один шаг должен обозначать одну единицу.

Точки каждой группы соединяются последовательно отрезками. В конце первой и второй группы карандаш нужно поднять. Четвёртая группа продолжает третью от последней точки (5; 11), чтобы получилась голова фигуры.

1. Первая группа: (−8; 1) → (−6; 2) → (−2; 0) → (1; 2) → (5; 1) → (7; −4) → (9; −3).
2. Вторая группа, новая линия: (−2; 6) → (0; 8) → (3; 7) → (5; 5) → (7; 7).
3. Третья группа, новая линия: (1; 2) → (3; 7) → (3; 9) → (3; 10) → (4; 11) → (5; 11).
4. Продолжение третьей: (6; 10) → (6; 9) → (5; 8) → (4; 8) → (3; 9).

Не называйте результат заранее: ребёнку интереснее узнать его по мере построения. Если фигура не складывается, проверяйте точки по одной. Частые причины — переставленные координаты, потерянный минус или случайный отрезок между концом одной группы и началом следующей. В первой группе особенно внимательно проверьте (7; −4) и (9; −3).

Проверьте рисунок вертикальной прямой

Получился бегущий человек. Но задаёт ли весь рисунок функцию y = f(x)? Попросите ребёнка вспомнить условие единственного результата, а затем провести вертикальную прямую через x = 5.

На этой прямой есть сразу четыре точки рисунка: (5; 1), (5; 5), (5; 8), (5; 11). Одному аргументу 5 соответствуют четыре разных значения y. Поэтому весь рисунок не является графиком функции y = f(x).

Объяснение ребёнку: «Красивый рисунок на координатной плоскости ещё не обязательно график функции. Для функции одному допустимому x нужен один результат. Здесь мы нашли сразу несколько».

Это и есть проверка вертикальной прямой: если найдётся вертикаль, пересекающая рисунок больше одного раза, он не задаёт функцию y от x. Для x вне области определения пересечений может не быть вообще. Поэтому полезно говорить «не больше одного», а не требовать по одному пересечению на всей бесконечной оси.

Для отрицательного ответа достаточно одной найденной вертикали. Не нужно перечислять все места, где фигура устроена так же. Попросите ребёнка самостоятельно указать две из четырёх точек при x = 5 и связать их с определением.

Разберите пять дополнительных вычислений

В упражнениях к уроку дана ещё одна функция: y = (x + 2,5)² − 3. Нужно найти её значения при пяти аргументах. Здесь область определения — все действительные числа: складывать, возводить в квадрат и вычитать 3 можно при любом таком x.

Сначала попросите решить задание без готового ответа. При подстановке отрицательного числа сохраняйте скобки. Порядок действий такой: сложить x и 2,5, возвести полученную сумму в квадрат, затем вычесть 3. Квадрат относится ко всей сумме в скобках.

Разберите первую строку до конца: 1,5² = 2,25, затем 2,25 − 3 = −0,75. В последней строке сумма равна −1, а её квадрат — 1. Поэтому получается 1 − 3 = −2. Если записать −1² без нужных скобок, смысл выражения изменится; лучше сохранять вид подставленного числа явно.

Спросите: «При каком из этих пяти аргументов результат самый маленький?» При x = −2,5 получается −3. Здесь сумма в скобках обнуляется. Остальные полученные квадраты неотрицательны, поэтому вычитание 3 не даст числа меньше −3. Это позволяет проверить разумность вычислений, а не только свериться с готовой колонкой.

Разбирайте ошибку по тому шагу, где она появилась

Если ребёнок переставляет x и y, вернитесь к одной точке и попросите назвать сначала горизонтальное положение, затем высоту. Если путает D и E, закройте названия и задайте два вопроса: «Что разрешено подставить?» и «Что получается на выходе?».

Если он выбирает скобки только по пустому кружку, попросите проверить координату на всём графике. В примере A точка (4; 2) исключена, но y = 2 всё равно встречается. Если из дроби исключается число с неверным знаком, подставьте его в знаменатель: проверка должна дать именно ноль.

Если потерялся минус при подстановке, сначала вычислите выражение внутри скобок отдельной строкой. Если рисунок объявлен функцией только потому, что выглядит связным, проведите вертикаль через x = 5. Короткое действие, показывающее причину, обычно полезнее повторения определения без примера.

В конце попросите ребёнка самостоятельно объяснить три вещи: чем аргумент отличается от значения, почему в одной дроби исключается 5, а в другой −2, и почему бегущий человек не задаёт функцию. Ответ должен опираться на формулу или конкретные точки, а не только на знакомые слова.

Короткие ответы на вопросы родителей

Как объяснить область значений простыми словами? Это все результаты y, которые действительно можно получить при допустимых x. На графике ищем достигнутые высоты, на формуле — учитываем, какие значения она выдаёт.

Область определения и область значений обязаны совпадать? Нет. У первого графика D(f) = [−10; 11], а E(f) = [−5; 12]. Это ответы на разные вопросы, поэтому границы у них могут различаться.

Почему нулевой аргумент не всегда даёт нулевой результат? Результат определяется всей формулой. В f(x) = 1,7x + 10 при x = 0 остаётся слагаемое 10.

Пустая точка всегда исключает и x, и y? Она исключает конкретную пару координат. Для x и y нужно отдельно проверить, есть ли на графике другие включённые точки с такой координатой. В примере A x = 4 отсутствует, а y = 2 достигается в другом месте.

Точность определений и способ проверки графика сверены с разделами OpenStax о функциях и вертикальной прямой и области определения и области значений. Числовые примеры и координатные задания разобраны по уроку алгебры Ёшколы.